Question

10．若函數(shù)f（x）=log_a（x+$\frac{a}{x}$-1）（a＞0且a≠1）的值域?yàn)镽，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是0＜a≤$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 本題是一個對數(shù)函數(shù)類型，由于函數(shù)f（x）的值域是R，所以真數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$-1的取值范圍應(yīng)該包含正實(shí)數(shù)集，利用基本不等式，確定y=x+$\frac{a}{x}$-1值域?yàn)?$\sqrt{a}$-1，可得實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：∵函數(shù)f（x）的值域是R，
∴設(shè)真數(shù)y=x+$\frac{a}{x}$-1值域?yàn)镸，則必定有（0，+∞）⊆M，
∵y=x+$\frac{a}{x}$-1值域?yàn)?$\sqrt{a}$-1，
∴2$\sqrt{a}$-1≤0，
∴a≤$\frac{1}{4}$，
∵a＞0，
∴0＜a≤$\frac{1}{4}$．
故答案為：0＜a≤$\frac{1}{4}$．

點(diǎn)評 本題的考點(diǎn)是基本不等式在最值問題中的應(yīng)用，考查對數(shù)型函數(shù)的值域?yàn)槿�體實(shí)數(shù)的等價條件的理解，屬于中檔題．本題是一個易錯題，應(yīng)依據(jù)定義理清轉(zhuǎn)化的依據(jù)．