Question

【題目】已知橢圓C1：y2＝1的左右頂點是雙曲線C2：的頂點，且橢圓C1的上頂點到雙曲線C2的漸近線的距離為．

（1）求雙曲線C2的方程；

（2）若直線與C1相交于M1，M2兩點，與C2相交于Q1，Q2兩點，且5，求|M1M2|的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）y2＝1；（2）|M1M2|∈（0，]．

【解析】

（1）由橢圓的頂點可得，求出雙曲線的漸近線方程，運用點到直線的距離公式可得，進而得到雙曲線的方程；

（2）設出直線的方程，聯(lián)立雙曲線方程，消去，運用韋達定理和判別式大于0，結合向量的數(shù)量積的坐標運算，求得的關系式，再由直線方程和橢圓的方程聯(lián)立，運用韋達定理和弦長公式，即可求得的取值范圍.

（1）由橢圓C1：y2＝1的左右頂點為（，0），（，0），可得a2＝3，

又橢圓C1的上頂點（0，1）到雙曲線C2的漸近線bx﹣ay＝0的距離為，

由點到直線的距離公式有可得b＝1，

所以雙曲線C2的方程為y2＝1；

（2）易知直線l的斜率存在，設直線l的方程為y＝kx+m，

代入y2＝1，消去y并整理得（1﹣3k2）x2﹣6kmx﹣3m2﹣3＝0，

要與C2相交于兩點，則應有①，

設Q1（x1，y1）、Q2（x2，y2），則有：x1+x2，x1x2．

又x1x2+y1y2＝x1x2+（kx1+m）（kx2+m）＝（1+k2）x1x2+km（x1+x2）+m2，

又5，所以有[（1+k2）（﹣3m2﹣3）+6k2m2+m2（1﹣3k2）]＝﹣5

整理得m2＝1﹣9k2…②，

將y＝kx+m，代入y2＝1，消去y并整理得：（1+3k2）x2+6kmx+3m2﹣3＝0，

要有兩交點，則△＝36k2m2﹣4（1+3k2）（3m2﹣3）＞03k2+1＞m2…③

由①②③有：0＜k2．

設M1（x3，y3）、M2（x4，y4），則有：x3+x4，x3x4．

所以|M1M2|，

又m2＝1﹣9k2，代入有：|M1M2||M1M2|

|M1M2|＝12，令t＝k2，則t∈（0，]，

令f（t）f′（t），又t∈（0，]，

所以f'（t）＞0在t∈（0，]內(nèi)恒成立，故函數(shù)f（t）在t∈（0，]內(nèi)單調(diào)遞增，

故f（t）∈（0，]，則有|M1M2|∈（0，]．