Question

4．要做一個圓錐形的漏斗，其母線長為40cm，要使其體積為最大，則高為$\frac{20\sqrt{6}}{3}$．

Answer 1

分析 設(shè)漏斗高為h，用h表示出底面半徑，得出漏斗的體積關(guān)于h的函數(shù)V（h），利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)最值得關(guān)系解出V（h）的極大值點．

解答 解：設(shè)圓錐形漏斗的高為h，則圓錐的底面半徑r=$\sqrt{4{0}^{2}-{h}^{2}}$，
∴圓錐的體積V=$\frac{1}{3}π{r}^{2}$h=$\frac{1}{3}π$（1600h-h³）．
∴V′（h）=$\frac{1600π}{3}$-2πh²，令V′（h）=0得h=$\frac{20\sqrt{6}}{3}$．
當(dāng)0＜h＜$\frac{20\sqrt{6}}{3}$時，V′（h）＞0，當(dāng)$\frac{20\sqrt{6}}{3}＜h＜40$時，V′（h）＜0．
∴當(dāng)h=$\frac{20\sqrt{6}}{3}$時，V（h）取得最大值．
故答案為：$\frac{20\sqrt{6}}{3}$．

點評 本題考查了圓錐的體積公式，導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的最值，屬于中檔題．