Question

【題目】某地政府落實黨中央“精準扶貧”政策，解決一貧困山村的人畜用水困難，擬修建一個底面為正方形（由地形限制邊長不超過10m）的無蓋長方體蓄水池，設計蓄水量為800m3 ． 已知底面造價為160元/m2 ， 側面造價為100元/m2 ． （I）將蓄水池總造價f（x）（單位：元）表示為底面邊長x（單位：m）的函數；
（II）運用函數的單調性定義及相關知識，求蓄水池總造價f（x）的最小值．

Answer 1

【答案】解：（Ⅰ）設蓄水池高為h，則 ，

∴

=

（Ⅱ）任取x1，x2∈（0，10]，且x1＜x2，則

=

∵0＜x1＜x2≤10，∴x1x2＞0，x1﹣x2＜0，x1x2（x1+x2）＜2000，

∴y=f（x1）﹣f（x2），即f（x1）＞f（x2），∴y=f（x）在x∈（0，10]上單調遞減

故x=10當時，fmin（x）=f（10）=48000

答：當底面邊長為10m時，蓄水池最低造價為48000元

【解析】（I）設蓄水池高為h，則 ，利用底面造價為160元/m2，側面造價為100元/m2，即可將蓄水池總造價f（x）（單位：元）表示為底面邊長x（單位：m）的函數；（II）確定y=f（x）在x∈（0，10]上單調遞減，即可求蓄水池總造價f（x）的最小值．
【考點精析】本題主要考查了基本不等式在最值問題中的應用的相關知識點，需要掌握用基本不等式求最值時（積定和最小，和定積最大），要注意滿足三個條件“一正、二定、三相等”才能正確解答此題．