Question

已知函數(shù)f(x)=-x3+ax2-4()，是f(x)的導(dǎo)函數(shù).

（1）當(dāng)a=2時(shí)，對任意的求的最小值；

（2）若存在使f(x0)>0，求a的取值范圍.

 

Answer 1

（1）-11（2）

【解析】

試題分析：

（1）把a(bǔ)=2帶入f(x),對f(x)求導(dǎo)得單調(diào)性，得極值與[-1,1]區(qū)間端點(diǎn)對應(yīng)的函數(shù)值進(jìn)行比較得到最小值，對f(x)求導(dǎo)得到導(dǎo)函數(shù),導(dǎo)函數(shù)為二次函數(shù)可以對稱軸圖像得到導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間[-1,1]上的最小值，函數(shù)f(x)與f(x)的導(dǎo)函數(shù)最小值之和即為的最小值.

（2）該問題為固定區(qū)間上的恒成立問題，只需要函數(shù)f(x)在區(qū)間最小值大于0.關(guān)于函數(shù)f(x)的最值可以通過求導(dǎo)求單調(diào)性來得到在該區(qū)間上的最值，由于導(dǎo)函數(shù)是含參數(shù)的二次函數(shù)，故討論需遵循開口，有無根，根的大小等步驟進(jìn)行分類討論確定原函數(shù)的單調(diào)性，得到最小值，進(jìn)而得到a的取值范圍.

試題解析：

（1）由題意知

令 2分

當(dāng)在[-1，1]上變化時(shí)，隨的變化情況如下表：

x	-1	（-1，0）	0	（0，1）	1
	-7	-	0	+	1
	-1	↓	-4	↑	-3

的最小值為 4分

的對稱軸為，且拋物線開口向下,

的最小值為 5分

的最小值為-11. 6分

（2）.

①若,上單調(diào)遞減，

又

9分

②若當(dāng)

從而上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，

. 12分

根據(jù)題意，

綜上，的取值范圍是 14分

(或由,用兩種方法可解)

考點(diǎn)：導(dǎo)函數(shù)最值恒成立問題不等式