Question

已知函數(shù)f（x）=ax³+bx²+4x的極小值為-8，其導(dǎo)函數(shù)y=f′（x）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（-2，0），如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)y=f（x）-k在區(qū)間[-3，2]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）求出y=f'（x），因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)圖象經(jīng)過（-2，0），代入即可求出a、b之間的關(guān)系式，再根據(jù)f（x）極小值為-8可得f（-2）=-8，解出即可得到a、b的值；
（2）將函數(shù)g（x）=f（x）-k在區(qū)間[-3，2]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，轉(zhuǎn)化成k=f（x）在區(qū)間[-3，2]上有兩個(gè)不同的根，
即y=k與y=f（x）的圖象在區(qū)間[-3，2]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，列出表格，即可求出實(shí)數(shù)k的取值范圍．

解答：解：（1）根據(jù)題意可知函數(shù)在x=-2處取極小值8
f′（x）=3ax²+2bx+4
∴

f′(-2)=12a-4b+4=0  f(-2)=-8a+4b-8=-8

解得：a=-1，b=-2
∴f（x）=-x³-2x²+4x，
（2）∵函數(shù)g（x）=f（x）-k在區(qū)間[-3，2]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)，
∴k=f（x）在區(qū)間[-3，2]上有兩個(gè)不同的根
即y=k與y=f（x）的圖象在區(qū)間[-3，2]上有兩個(gè)不同的交點(diǎn)
f'（x）=-3x²-4x+4，令f′（x）=0，解得x=-2或x=

2

3

，可列表：

x	-3	（-3，-2）	-2	（-2， 2 3 ）	2 3	（ 2 3 ，2）	2
f′（x）		-	0	+	0	-
f（x）	-3?	↘	極小值-8	↗	極大值 40 27	↘	-8

由表可知，當(dāng)k=-8或-3＜k＜

40

27

時(shí)，方程k=f（x）在區(qū)間[-3，2]上有兩個(gè)不同的根，
即函數(shù)y=f（x）-k在區(qū)間[-3，2]上有兩個(gè)不同的零點(diǎn)．

點(diǎn)評：考查學(xué)生會(huì)用待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式，會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)極值，以及函數(shù)與方程的思想，屬于中檔題．