Question

已知橢圓的離心率為，右頂點為A，上頂點B到兩焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）過點且斜率k為的直線l與橢圓C交于不同的兩點P，Q，是否存在k，使得向量與垂直？若存在，試求出k的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）依題意，得2a=4，=
∴a=2，c=
∴b=1，∴橢圓C的方程為：…（5分）
（Ⅱ）設(shè)，由消去y，可得：． …（6分）
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），PQ的中點M
則∴
所以
又A（2，0），B（0，1），∴=（-2，1），
∵與垂直，∴可得
∴
∴
這與矛盾，故不存在． …（12分）
分析：（Ⅰ）根據(jù)題意的離心率為，右頂點為A，上頂點B到兩焦點F₁，F(xiàn)₂的距離之和為4，建立方程，求得橢圓的幾何量，從而可得橢圓的方程；
（Ⅱ）將直線與橢圓方程聯(lián)立，求出向量與的坐標(biāo)，利用向量與垂直，及判別式即可求得結(jié)論．
點評：本題考查橢圓的定義和離心率，直線與橢圓的位置關(guān)系，韋達定理，向量垂直的坐標(biāo)運算，存在性等，以及分析推理運算能力．