Question

如圖，已知位于y軸左側(cè)的圓C與y軸相切于點(diǎn)（0,1）且被x軸分成的兩段圓弧長(zhǎng)之比為1:2，過(guò)點(diǎn)H（0，t）的直線于圓C相交于M、N兩點(diǎn)，且以MN為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)O。
（1）  求圓C的方程；
（2）  當(dāng)t=1時(shí)，求出直線的方程；
（3）  求直線OM的斜率k的取值范圍。

Answer 1

解 （1）因?yàn)槲挥?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823194726159331.png" style="vertical-align:middle;" />軸左側(cè)的圓與軸相切于點(diǎn)，所以圓心在直線上，
設(shè)圓與軸的交點(diǎn)分別為、，
由圓被軸分成的兩段弧長(zhǎng)之比為，得，
所以，圓心的坐標(biāo)為，
所以圓的方程為：．           …………………4分

（2）當(dāng)時(shí)，由題意知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為，
由得或，
不妨令，
因?yàn)橐?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140823/20140823194726939491.png" style="vertical-align:middle;" />為直徑的圓恰好經(jīng)過(guò)，
所以，
解得，所以所求直線方程為或．…………10分
（3）設(shè)直線的方程為，
由題意知，，解之得，
同理得，，解之得或． 由（2）知，也滿足題意．
所以的取值范圍是． …………16分

略