Question

15．已知圓C：x²+（y-4）²=4，直線l過點（-2，0）．
（1）當直線l與圓C相切時，求直線l的一般式方程；
（2）當直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|≥2$\sqrt{2}$時，求直線l斜率的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-2；當直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），由圓心C（0，4）到直線l的距離等于半徑，能求出直線l的方程．
（2）圓C：x²+（y-4）²=4的圓心C（0，4），半徑r=2，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），由直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|≥2$\sqrt{2}$，列出不等式，由此能求出直線l斜率的取值范圍．

解答 解：（1）當直線l的斜率不存在時，直線l的方程為x=-2，滿足條件；
當直線l的斜率k存在時，設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），
則圓心C（0，4）到直線l的距離：
d=$\frac{|0-4+2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直線l的方程為：y=$\frac{3}{4}$（x+2），
綜上，直線l的方程為3x-4y+6=0或x=-2．
（2）圓C：x²+（y-4）²=4的圓心C（0，4），半徑r=2，
設(shè)直線l的方程為y=k（x+2），
直線l與圓C相交于A、B兩點，且|AB|≥2$\sqrt{2}$，
則圓心C（0，4）到直線l的距離：
d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
解得1≤k≤7，
∴直線l斜率的取值范圍是[1，7]．

點評 本題考查切線方程的求法，考查直線斜率的取值范圍的求法，考查圓的性質(zhì)、直線與圓的位置關(guān)系，考查推理論證能力、運算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．