Question

11．已知函數(shù)f（x）=xln x，g（x）=（-x²+ax-3）e^x（a為實(shí)數(shù)）．
（1）當(dāng)a=5時(shí)，求函數(shù)y=g（x）在x=1處的切線方程；
（2）求f（x）在區(qū)間[t，t+2]（t＞0）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）求出切點(diǎn)坐標(biāo)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，求出切線的斜率，然后求解切線方程．
（2）求出函數(shù)的定義域，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，通過導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷函數(shù)的單調(diào)性，然后求解函數(shù)的最值．

解答 解：（1）當(dāng)a=5時(shí)，
g（x）=（-x²+5x-3）e^x，g（1）=e．
又g′（x）=（-x²+3x+2）e^x，故切線的斜率為g′（1）=4e．
所以切線方程為：y-e=4e（x-1），即y=4ex-3e．
（2）函數(shù)f（x）的定義域?yàn)椋?，+∞），f′（x）=ln x+1，
當(dāng)x變化時(shí)，f′（x），f（x）的變化情況如下表：

x	（0，$\frac{1}{e}$）	$\frac{1}{e}$	（$\frac{1}{e}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

①當(dāng)t≥$\frac{1}{e}$時(shí)，在區(qū)間[t，t+2]上f（x）為增函數(shù)，所以f（x）_min=f（t）=tln t．
②當(dāng)0＜t＜$\frac{1}{e}$時(shí)，在區(qū)間[t，$\frac{1}{e}$）上f（x）為減函數(shù)，在區(qū)間$（\frac{1}{e}，t+2]$上f（x）為增函數(shù)，
所以f（x）_min=f（$\frac{1}{e}$）=-$\frac{1}{e}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，切線方程，以及函數(shù)的最值的求法，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力．