Question

17．已知向量$\overrightarrow a=（\sqrt{3}sin2x+3，cosx）$，$\overrightarrow b=（1，2cosx）$，設(shè)函數(shù)$f（x）=\overrightarrow a•\overrightarrow b$
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和其圖象的對稱中心；
（2）當(dāng)$x∈[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$時，求函數(shù)f（x）的值域．

Answer 1

分析 （1）進行數(shù)量積的坐標(biāo)運算，并化簡即可求得$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$，進而求出f（x）的最小正周期及對稱中心；
（2）根據(jù)x的范圍便可求出$2x+\frac{π}{6}$的范圍，根據(jù)f（x）的解析式即可求出f（x）的值域．

解答 解：（1）$f（x）=\overrightarrow{a}•\overrightarrow$
=$\sqrt{3}sin2x+3+2co{s}^{2}x$
=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+4$
=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$；
∴f（x）的周期T=π；
令$2x+\frac{π}{6}=kπ$，k∈Z，則x=$\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}$，k∈Z；
∴圖象對稱中心為：$（\frac{kπ}{2}-\frac{π}{12}，4）$，k∈Z；
（2）$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+4$；
$x∈[\frac{π}{12}，\frac{7π}{12}]$，∴$2x+\frac{π}{6}∈[\frac{π}{3}，\frac{4π}{3}]$；
∴f（x）∈[3，6]；
即f（x）的值域為[3，6]．

點評 考查數(shù)量積的坐標(biāo)運算，二倍角的余弦公式，兩角和的正弦公式，周期的計算公式，正弦函數(shù)的對稱中心，以及正弦函數(shù)的圖象．