Question

（本小題滿分12分）已知函數(shù)（為常數(shù)）。
（Ⅰ）函數(shù)的圖象在點(diǎn)（）處的切線與函數(shù)的圖象相切，求實(shí)數(shù)的值；
（Ⅱ）設(shè)，若函數(shù)在定義域上存在單調(diào)減區(qū)間，求實(shí)數(shù)的取值范圍；
（Ⅲ）若，對(duì)于區(qū)間[1,2]內(nèi)的任意兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)，，都有
成立，求的取值范圍。

Answer 1

（Ⅰ）（Ⅱ）（Ⅲ）

試題分析：（Ⅰ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824001319418561.png" style="vertical-align:middle;" />，所以，因此，
所以函數(shù)的圖象在點(diǎn)（）處的切線方程為，               ……1分
由得，
由，得.                                    ……3分
（Ⅱ）因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240013197141305.png" style="vertical-align:middle;" />，
所以，
由題意知在上有解，
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824001319792382.png" style="vertical-align:middle;" />，設(shè)，因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824001319886545.png" style="vertical-align:middle;" />，
則只要，解得，
所以b的取值范圍是.                                              ……6分
（Ⅲ）不妨設(shè)，
因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，所以，
函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為，且。
（i）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù)，所以，
所以等價(jià)于
，
即，
等價(jià)于在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù)，
等價(jià)于在區(qū)間[1,2]上恒成立，
等價(jià)于在區(qū)間[1,2]上恒成立，
所以，又，
所以.                                                             ……8分
（ii）當(dāng)時(shí)，函數(shù)在區(qū)間[1, b]上是減函數(shù)，在上為增函數(shù)。
① 當(dāng)時(shí)，
等價(jià)于，
等價(jià)于在區(qū)間[1,b]上是增函數(shù)，
等價(jià)于在區(qū)間[1,b]上恒成立，
等價(jià)于在區(qū)間[1,b]上恒成立，
所以，又，所以
②當(dāng)時(shí)，
等價(jià)于，
等價(jià)于在區(qū)間[b,2]上是增函數(shù)，
等價(jià)于在區(qū)間[b,2]上恒成立，
等價(jià)于在區(qū)間[b,2]上恒成立，
所以，故，
③當(dāng)時(shí)，
由圖像的對(duì)稱性知，
只要對(duì)于①②同時(shí)成立，
那么對(duì)于③，則存在，
使 =恒成立；
或存在，
使=恒成立，
因此，
綜上，b的取值范圍是.                                        ……12分
點(diǎn)評(píng)：導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)有力的工具，研究函數(shù)時(shí)，不要忘記考查函數(shù)的定義域.另外恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題解決.