試題分析:(Ⅰ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824001319418561.png" style="vertical-align:middle;" />,所以
,因此
,
所以函數(shù)
的圖象在點(diǎn)(
)處的切線方程為
, ……1分
由
得
,
由
,得
. ……3分
(Ⅱ)因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/201408240013197141305.png" style="vertical-align:middle;" />,
所以
,
由題意知
在
上有解,
因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824001319792382.png" style="vertical-align:middle;" />,設(shè)
,因?yàn)?img src="http://thumb.1010pic.com/pic2/upload/papers/20140824/20140824001319886545.png" style="vertical-align:middle;" />,
則只要
,解得
,
所以b的取值范圍是
. ……6分
(Ⅲ)不妨設(shè)
,
因?yàn)楹瘮?shù)
在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),所以
,
函數(shù)
圖象的對(duì)稱軸為
,且
。
(i)當(dāng)
時(shí),函數(shù)
在區(qū)間[1,2]上是減函數(shù),所以
,
所以
等價(jià)于
,
即
,
等價(jià)于
在區(qū)間[1,2]上是增函數(shù),
等價(jià)于
在區(qū)間[1,2]上恒成立,
等價(jià)于
在區(qū)間[1,2]上恒成立,
所以
,又
,
所以
. ……8分
(ii)當(dāng)
時(shí),函數(shù)
在區(qū)間[1, b]上是減函數(shù),在
上為增函數(shù)。
① 當(dāng)
時(shí),
等價(jià)于
,
等價(jià)于
在區(qū)間[1,b]上是增函數(shù),
等價(jià)于
在區(qū)間[1,b]上恒成立,
等價(jià)于
在區(qū)間[1,b]上恒成立,
所以
,又
,所以
②當(dāng)
時(shí),
等價(jià)于
,
等價(jià)于
在區(qū)間[b,2]上是增函數(shù),
等價(jià)于
在區(qū)間[b,2]上恒成立,
等價(jià)于
在區(qū)間[b,2]上恒成立,
所以
,故
,
③當(dāng)
時(shí),
由
圖像的對(duì)稱性知,
只要
對(duì)于①②同時(shí)成立,
那么對(duì)于③,則存在
,
使
=
恒成立;
或存在
,
使
=
恒成立,
因此
,
綜上,b的取值范圍是
. ……12分
點(diǎn)評(píng):導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)的一個(gè)有力的工具,研究函數(shù)時(shí),不要忘記考查函數(shù)的定義域.另外恒成立問(wèn)題一般轉(zhuǎn)化成求最值問(wèn)題解決.