Question

8．如圖，平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，將△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EBD⊥平面ABD．
（1）求證：AB⊥DE；
（2）若F為BE的中點(diǎn)，求點(diǎn)F到平面ADE的距離．

Answer 1

分析 （1）由勾股定理得AB⊥BD，由面面垂直得AB⊥平面EBD，由此能證明AB⊥DE；
（2）由（1）知ED⊥平面ABD，∠ABD=90°，以D為原點(diǎn)，以DB為x軸，以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出直線AF與平面ADE所成角正弦值，從而求出點(diǎn)F到平面ADE的距離．

解答 （1）證明：在△ABD中，
∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°，
∴BD=$\sqrt{{AB}^{2}{+AD}^{2}-2AB•ADcos∠DAB}$=2$\sqrt{3}$，
∴AB²+BD²=AD²，∴AB⊥BD．
又∵平面EBD⊥平面ABD，
平面EBD∩平面ABD=BD，AB?平面ABD，
∴AB⊥平面EBD．
∵DE?平面EBD，∴AB⊥DE；
（2）解：由（1）知ED⊥平面ABD，∠ABD=90°，
∴∠BDC=90°，故以D為原點(diǎn)，以DB為x軸，
以DC為y軸，以DE為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，
∵平行四邊形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4，
∴BD=$\sqrt{16-4}$=2$\sqrt{3}$，
則B（2$\sqrt{3}$，0，0），E（0，0，2），∵點(diǎn)F為BE的中點(diǎn)，∴F（$\sqrt{3}$，0，1），
A（2$\sqrt{3}$，-2，0），D（0，0，0），
∴$\overrightarrow{AF}$=（-$\sqrt{3}$，2，1），$\overrightarrow{DA}$=（2$\sqrt{3}$，-2，0），$\overrightarrow{DE}$=（0，0，2），
設(shè)平面DAE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），則$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DA}$=0，$\overrightarrow{n}$•$\overrightarrow{DE}$=0，
∴$\left\{\begin{array}{l}{2\sqrt{3}x-2y=0}\\{2z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，$\sqrt{3}$，0），
設(shè)直線AF與平面ADE所成角為θ，
則sinθ=|cos＜$\overrightarrow{AF}$，$\overrightarrow{n}$$\frac{-\sqrt{3}+2\sqrt{3}+0}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$＞|=|$\frac{-\sqrt{3}+2\sqrt{3}+0}{\sqrt{8}•\sqrt{4}}$|=$\frac{\sqrt{6}}{8}$，
直線AF與平面ADE所成角正弦值為$\frac{\sqrt{6}}{8}$，
∴點(diǎn)F到平面ADE的距離是$\frac{\sqrt{6}}{8}$•|$\overrightarrow{AF}$|=$\frac{\sqrt{6}}{8}×\sqrt{8}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查異面直線垂直的證明，考查直線與平面所成角的正弦值的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．