Question

已知ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB，E，F(xiàn)是側棱PD，PC的中點．
（1）求證EF∥平面PAB；
（2）求證平面PBD⊥平面PAC；
（3）求直線PC與底面ABCD所成的角的正切值．

Answer 1

考點：平面與平面垂直的判定,直線與平面平行的判定,直線與平面所成的角

專題：空間位置關系與距離,空間角

分析：（1）由中位線得EF∥CD，再由平行線的傳遞性得EF∥AB，然后結合定理在說明清楚即可；
（2）關鍵是證明BD⊥平面PAC，再結合BD?平面PBD，就可證明平面PBD⊥平面PAC；
（3）由于PA⊥平面ABCD，則∠PCA為直線PC與平面ABCD所成角，結合三角函數(shù)可求出其正切值．

解答： （1）證明：∵ABCD是正方形，PA⊥面ABCD，且PA=AB，
E，F(xiàn)是側棱PD，PC的中點，
∴EF∥CD，AB∥CD，
∴EF∥AB，又EF不包含于平面PAB，AB?平面PAB，
∴EF∥平面PAB．
（2）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，又BD⊥AC，
∴BD⊥平面PAC，平面PBD⊥平面PAC．
（3）解：∵PA⊥平面ABCD，
∴∠PCA是直線PC與平面ABCD所成角，
∵PA=AB，AC=

2

AB，
∴tan∠PCA=

PA

AC

=

2

2

．
∴直線PC與底面ABCD所成的角的正切值為

2

2

．

點評：本題考查線面平行，考查面面垂直，考查線面角，考查學生分析解決問題的能力，掌握線面平行，面面垂直的判定方法是關鍵．