19.若$\overrightarrow{{e}_{1}}$,$\overrightarrow{{e}_{2}}$是夾角為60°的兩個單位向量,$\overrightarrow{a}$=2$\overrightarrow{{e}_{1}}$+$\overrightarrow{{e}_{2}}$,$\overrightarrow$=-3$\overrightarrow{{e}_{1}}$+2$\overrightarrow{{e}_{2}}$
(1)求$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$的值及|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|;      
(2)設(shè)實(shí)數(shù)t滿足($\overrightarrow{a}$-t$\overrightarrow$)⊥$\overrightarrow{a}$,求t的值.

分析 (1)根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算法則與數(shù)量積的定義,進(jìn)行計算即可;
(2)根據(jù)兩向量垂直時數(shù)量積為0,列出方程即可求出t的值.

解答 解:(1)∵$\overrightarrow{e_1},\overrightarrow{e_2}$是兩個單位向量,
∴$|\overrightarrow{e_1}|=1,|\overrightarrow{e_2}|=1$,---(1分)
又∵$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$,$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$,
∴$\overrightarrow a•\overrightarrow b$=$(2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2})•(-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2})$
=-6${\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}$+$\overrightarrow{{e}_{1}}$•$\overrightarrow{{e}_{2}}$+2${\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}$
=-6${|\overrightarrow{{e}_{1}}|}^{2}$+|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|•|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cos60°+2${|\overrightarrow{{e}_{2}}|}^{2}$
=-$\frac{7}{2}$,----(3分)
∵$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$,$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$,
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b=-\overrightarrow{e_1}+3\overrightarrow{e_2}$,---(4分)
∴|$\overrightarrow{a}$+$\overrightarrow$|=$\sqrt{{(-\overrightarrow{{e}_{1}}+3\overrightarrow{{e}_{2}})}^{2}}$
=$\sqrt{{\overrightarrow{{e}_{1}}}^{2}-6\overrightarrow{{e}_{1}}•\overrightarrow{{e}_{2}}+{9\overrightarrow{{e}_{2}}}^{2}}$
=$\sqrt{{|\overrightarrow{{e}_{1}}|}^{2}-6|\overrightarrow{{e}_{1}}|×|\overrightarrow{{e}_{2}}|+{9|\overrightarrow{{e}_{2}}|}^{2}}$
=$\sqrt{7}$,----(6分)
(2)∵$\overrightarrow a=2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}$,$\overrightarrow b=-3\overrightarrow{e_1}+2\overrightarrow{e_2}$,
∴($\overrightarrow a-t\overrightarrow b$)=$(2+3t)\overrightarrow{e_1}+({1-2t})\overrightarrow{e_2}$,--(7分)
又∵($\overrightarrow a-t\overrightarrow b$)$⊥\overrightarrow a$,
∴$(\overrightarrow a-t\overrightarrow b)•\overrightarrow a=0$,---(8分)
∴$[(2+3t)\overrightarrow{e_1}+({1-2t})\overrightarrow{e_2}]•({2\overrightarrow{e_1}+\overrightarrow{e_2}})=0$,
即$(4+6t){\overrightarrow{e_1}^2}+({4-t})\overrightarrow{e_1}•\overrightarrow{e_2}+({1-2t}){\overrightarrow{e_2}^2}=0$;
∴(4+6t)${|\overrightarrow{{e}_{1}}|}^{2}$+(4-t)|$\overrightarrow{{e}_{1}}$|×|$\overrightarrow{{e}_{2}}$|cos60°+(1-2t)${|\overrightarrow{{e}_{2}}|}^{2}$=0,---(10分)
∴4+6t+$\frac{1}{2}$(4-t)+1-2t=0,
解得t=-2.---(12分)

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的線性運(yùn)算與數(shù)量積的應(yīng)用問題,也考查了計算能力的應(yīng)用問題,是基礎(chǔ)題目.

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③f(x)在[1,3]上的圖象是連續(xù)不斷的;
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