Question

△ABC中角A，B，C所對邊分別為a，b，c且1-cos2A-cos2B+cos2C=2

3

sinAsinB
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若A∈（0，

2π

3

]，求y=2cos²

A

2

-sinB-1的值域．

Answer 1

考點(diǎn)：二倍角的余弦,三角函數(shù)的最值

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),解三角形

分析：（1）利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡式子，利用正弦定理化為關(guān)于a，b及c的關(guān)系式，利用余弦定理表示出cosC，把得到的關(guān)系式代入求出cosC的值，由C的范圍和特殊角的三角函數(shù)值求出C；
（2）根據(jù)（1）求出的C的度數(shù)，由三角形的內(nèi)角和定理，由B表示出A，由A的范圍求出B的范圍，把函數(shù)解析式利用二倍角的余弦函數(shù)公式、兩角和的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡后，根據(jù)B的范圍求出B+

π

3

的范圍，利用正弦函數(shù)的值域即可求出函數(shù)的值域．

解答： 解：（1）由題意得，1-cos2A-cos2B+cos2C=2

3

sinAsinB，
則1-（1-2sin²A）-（1-2sin²B）+1-2sin²C=2

3

sinAsinB，
即2sin²A+2sin²B-2sin²C=2

3

sinAsinB
由正弦定理可得：2a²+2b²-2c²=2

3

ab
整理得：a²+b²-c²=

3

ab，
由余弦定理得：cosC=

a2+b2-c2

2ab

=

3

2

，
又0＜C＜π，則C=

π

6

；
（2）由（1）得A+B=π-C=

5π

6

，則A=

5π

6

-B，
由A∈（0，

2π

3

]得，0＜

5π

6

-B≤

2π

3

，

π

6

≤B＜

5π

6

，
所以y=2cos²

A

2

-sinB-1=cosA-sinB-1=cos（

5π

6

-B）-sinB-1
=cos

5π

6

cosB+sin

5π

6

sinB-sinB-1=-

3

2

cosB-

1

2

sinB-1
=-sin(B+

π

3

)-1，
由

π

6

≤B＜

5π

6

得，

π

2

≤B+

π

3

＜

7π

6

，
所以-

1

2

＜sin(B+

π

3

)≤1，即-2≤-sin(B+

π

3

)-1＜-

1

2

，
故所求的函數(shù)的值域是：[-2，-

1

2

）．

點(diǎn)評：本題考查正弦、余弦定理，二倍角的余弦函數(shù)公式，兩角和的正弦函數(shù)公式，及特殊角的三角函數(shù)值，正弦函數(shù)的值域，注意角的范圍的確定，屬于中檔題．