【題目】設(shè)有二元關(guān)系,已知曲線.

1)若時,正方形的四個頂點均在曲線上,求正方形的面積;

2)設(shè)曲線軸的交點是,拋物線軸的交點是,直線與曲線交于,直線與曲線交于,求證直線過定點,并求該定點的坐標(biāo);

3)設(shè)曲線軸的交點是,,可知動點在某確定的曲線上運動,曲線上與上述曲線時共有4個交點,其坐標(biāo)分別是、、、,集合的所有非空子集設(shè)為,將中的所有元素相加(若只有一個元素,則和是其自身)得到255個數(shù),求所有正整數(shù)的值,使得是一個與變數(shù)及變數(shù)均無關(guān)的常數(shù).

【答案】14;(2)直線過定點;(3是奇數(shù)時,是一個與變數(shù)及變數(shù)均無關(guān)的常數(shù).

【解析】

1)令,解得,即表示兩條平行直線,這兩條平行線間的距離2為正方形的邊長,由此可得正方形面積;

2)曲線中,令,則,設(shè),由韋達定理得,寫出的方程求得的坐標(biāo),從而得直線的方程(只含有參數(shù)),觀察方程可得直線所過定點;

3)令,則,則,即點在曲線上,而曲線表示兩條平行線且斜率為1,因此可知點關(guān)于直線對稱,從而可得,同理.于是有,有,則時,,對其他244個子集配對:,滿足,,這樣的集合“對”共有127對。

以下證明:對的元素和的元素和,當(dāng)為奇數(shù)時,恒有,為此可用數(shù)學(xué)歸納法證明能夠整除,從而得結(jié)論.

1)令,得,即表示兩條平行直線,這兩條平行線間的距離為,此為正方形的邊長,正方形的面積為4。

2)在曲線中,令,則,設(shè),由韋達定理得,由題意知,直線方程為,方程為,

,解得,同理可得,∵,∴,∴直線方程為,化簡為:,時,,故直線過定點

3)令,則,則,即點在曲線上,又曲線恒表示兩條平行直線,如圖,

關(guān)于直線對稱,則,即,同理,則,集合的所有非空子集設(shè)為,取,顯然,則時,,對的其他子集,我們把它們配成集合“對”,使得,,這樣的集合“對”共有127對。

以下證明:對的元素和的元素和,當(dāng)為奇數(shù)時,恒有,為此先證明:是奇數(shù)時,則能夠整除,

用數(shù)學(xué)歸納法證之:

(i)當(dāng)時顯然成立,

(ii)假設(shè)是奇數(shù))成立,即能夠整除,則當(dāng)時,,

由歸納假設(shè)知此式能被整除,

由(i)(ii)可知當(dāng)為奇數(shù)時,能夠整除

為奇數(shù)時,(其中是關(guān)于的整式),

,∴對每一個集合“對”,

則一定有=0,,于是是常數(shù).

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