【題目】已知函數(shù)．

討論函數(shù)的極值點的個數(shù)；

若函數(shù)有兩個極值點，，證明：．

【答案】(1)見解析 (2)見解析

【解析】

先求出函數(shù)的導函數(shù)，通過討論a的范圍確定導函數(shù)的符號，從而得出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進而判斷函數(shù)極值點個數(shù)；

由可知當且僅當時有極小值和極大值，且，是方程的兩個正根，則，根據(jù)函數(shù)表示出，令，通過對求導即可證明結(jié)論．

解：函數(shù)，

，

，當時，，，

當時，，單調(diào)遞減；

當時，，單調(diào)遞增；

當時，有極小值；

當時，，故，

在上單調(diào)遞減，故此時無極值；

當時，，方程有兩個不等的正根，．

可得，．

則當及時，

，單調(diào)遞減；

當時， ；單調(diào)遞增；

在處有極小值，在處有極大值．

綜上所述：當時，有1個極值點；

當時，沒有極值點；

當時，有2個極值點．

由可知當且僅當時有極小值點

和極大值點，且，是方程的兩個正根，

則，．

；

令，

；，

在上單調(diào)遞減，故，

．

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖1,在正方形中，是的中點，點在線段上,且.若將 分別沿折起，使兩點重合于點,如圖2.

圖1 圖2

(1)求證:平面；

(2)求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】在平面直角坐標系中，曲線(α為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換得到曲線C2．以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系．

(1)求C2的普通方程；

(2)設曲線C3的極坐標方程為，且曲線C3與曲線C2相交于M，N兩點，點P(1，0)，求的值．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設有二元關系，已知曲線.

（1）若時，正方形的四個頂點均在曲線上，求正方形的面積；

（2）設曲線與軸的交點是，拋物線與軸的交點是，直線與曲線交于，直線與曲線交于，求證直線過定點，并求該定點的坐標；

（3）設曲線與軸的交點是，，可知動點在某確定的曲線上運動，曲線上與上述曲線在時共有4個交點，其坐標分別是、、、，集合的所有非空子集設為，將中的所有元素相加（若只有一個元素，則和是其自身）得到255個數(shù)，求所有正整數(shù)的值，使得是一個與變數(shù)及變數(shù)均無關的常數(shù).

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某社區(qū)名居民參加年國慶活動，他們的年齡在歲至歲之間，將年齡按、、、、分組，得到的頻率分布直方圖如圖所示.

（1）求的值，并求該社區(qū)參加年國慶活動的居民的平均年齡（每個分組取中間值作代表）；

（2）現(xiàn)從年齡在、的人員中按分層抽樣的方法抽取人，再從這人中隨機抽取人進行座談，用表示參與座談的居民的年齡在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學期望；

（3）若用樣本的頻率代替概率，用隨機抽樣的方法從該地歲至歲之間的市民中抽取名進行調(diào)查，其中有名市民的年齡在的概率為，當最大時，求的值.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】如圖，圓形紙片的圓心為，半徑為，該紙片上的正方形的中心為，、、、為圓上點，，，，分別是以，，，為底邊的等腰三角形，沿虛線剪開后，分別以，，，為折痕折起，，，，使得、、、重合，得到四棱錐.當該四棱錐體積取得最大值時，正方形的邊長為______.

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】已知點A（0，1），拋物線C：y2＝ax（a＞0）的焦點為F，連接FA，與拋物線C相交于點M，延長FA，與拋物線C的準線相交于點N，若|FM|：|MN|＝1：2，則實數(shù)a的值為_____．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】某學生對函數(shù)的性質(zhì)進行研究，得出如下的結(jié)論：

函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增；

點是函數(shù)圖象的一個對稱中心；

函數(shù)圖象關于直線對稱；

存在常數(shù)，使對一切實數(shù)x均成立，

其中正確命題的個數(shù)是( )

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設橢圓的右焦點為，過的直線與交于兩點，點的坐標為.

（1）當與軸垂直時，求直線的方程；

（2）設為坐標原點，證明：.

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