Question

已知兩點(diǎn)M（-1，0）、N（1，0），點(diǎn)P為坐標(biāo)平面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)，滿足|

MN

|•|

NP

|=

MN

•

MP

．
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程；
（2）若點(diǎn)A（t，4）是動(dòng)點(diǎn)P的軌跡上的一點(diǎn)，K（m，0）是x軸上的一動(dòng)點(diǎn)，試討論直線AK與圓x²+（y-2）²=4的位置關(guān)系．

Answer 1

（1）設(shè)P（x，y），則

MN

=(2，0)，

NP

=(x-1，y)，

MP

=(x+1，y)．（2分）
由|

MN

|•|

NP

|=

MN

•

MP

，
得2

(x-1)2+y2

=2(x+1)，（4分）
化簡(jiǎn)得y²=4x．
所以動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程為y²=4x．（5分）
（2）由點(diǎn)A（t，4）在軌跡y²=4x上，則4²=4t，解得t=4，即A（4，4）．（6分）
當(dāng)m=4時(shí)，直線AK的方程為x=4，此時(shí)直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．（7分）
當(dāng)m≠4時(shí)，直線AK的方程為y=

4

4-m

(x-m)，即4x+（m-4）y-4m=0，（8分）
圓心（0，2）到直線AK的距離d=

|2m+8|

16+(m-4)2

，
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

＜2，解得m＜1；
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

=2，解得m=1；
令d=

|2m+8|

16+(m-4)2

＞2，解得m＞1．
綜上所述，當(dāng)m＜1時(shí)，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相交；
當(dāng)m=1時(shí)，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相切；
當(dāng)m＞1時(shí)，直線AK與圓x²+（y-2）²=4相離．（14分）