Question

下列命題中，真命題的序號(hào)是

 

①△ABC中，A＞B?sinA＞sinB
②數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-2n+1，則數(shù)列{a_n}是等差數(shù)列．
③銳角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，a，則a的取值范圍是

7

＜a＜5．
④等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，已知a_m-1+a_m+1-a_m²=0，S_2m-1=38，則m=10．

Answer 1

考點(diǎn)：命題的真假判斷與應(yīng)用

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形

分析：①，△ABC中，利用正弦定理，可判斷①；
②，由數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-2n+1可求得a_n=

0，n=1 2n-3，n≥2

，從而可判斷②；
③，利用銳角三角形的概念知3²+a²＞4²，且3²+4²＞a²，整理后可判斷③；
④，利用等差數(shù)列的性質(zhì)可求得a_m=0（舍）或a_m=2；再利用S_2m-1=（2m-1）a_m=38，可求得m的值，從而可判斷④．

解答： 解：對(duì)于①，△ABC中，A＞B?a＞b，由正弦定理知，a＞b?sinA＞sinB，所以△ABC中，A＞B?sinA＞sinB，即①正確；
對(duì)于②，數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和S_n=n²-2n+1，
當(dāng)n=1時(shí)，a₁=S₁=1²-2×1+1=0，
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n=S_n-S_n-1=n²-2n-（n²-4n+3）=2n-3，
n=1時(shí)，a₁=0不適合上式，
所以a_n=

0，n=1 2n-3，n≥2

，顯然數(shù)列{a_n}不是等差數(shù)列，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，銳角三角形的三邊長(zhǎng)分別為3，4，a，
則3²+a²＞4²，且3²+4²＞a²，整理得：7＜a²＜25，
所以a的取值范圍是

7

＜a＜5，故③正確；
對(duì)于④，等差數(shù)列{a_n}前n項(xiàng)和為S_n，由a_m-1+a_m+1-a_m²=0得：2a_m=a_m²，
所以，a_m=0或a_m=2；
由于S_2m-1=（2m-1）a_m=38，
所以，a_m=2，2m-1=

38

2

=19，解得m=10，故④正確．
綜上所述，真命題的序號(hào)是①③④．
故答案為：①③④．

點(diǎn)評(píng)：本題考查命題的真假判斷與應(yīng)用，著重考查等差數(shù)列的判定與等差數(shù)列的性質(zhì)的應(yīng)用，考查正弦定理與三角形性形狀的判定，屬于中檔題．