P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，
AP
=
1
3
（
AB
+
AC
），則△ABC的面積與△ABP的面積之比為（　　）
分析：作出△ABC的BC邊上的中線AD，如圖所示．由向量加法法則與三角形中線的性質(zhì)算出
AP
=
2
3
AD
，得到P是AD的一個(gè)三等分點(diǎn)．分別作DE⊥AB于E、PF⊥AB于F，利用平行線的性質(zhì)和三角形面積公式算出S△ABP=
2
3
S△ABD，由AD是△ABC的中線得S△ABD=
1
2
S△ABC，可得S△ABP=
1
3
S△ABC，由此可得△ABC的面積與△ABP的面積之比．
解答：解：設(shè)D為BC中點(diǎn)，連結(jié)AD，可得
∵
AP
=
1
3
（
AB
+
AC
），
AD
=
1
2
（
AB
+
AC
），
∴
AP
=
2
3
AD
，即P是AD上靠近D點(diǎn)的一個(gè)三等分點(diǎn)．
分別過(guò)D、P作AB的垂線，垂足分別為E、F，則PF∥DE，
∴
PF
DE
=
AP
AD
=
2
3
，可得
S△ABP
S△ABD
=
1
2
×AB×PF
1
2
×AB×DE
=
PF
DE
=
2
3
，
得S△ABP=
2
3
S△ABD，
∵AD是△ABC的中線，可得S△ABD=
1
2
S△ABC，
∴S△ABP=
2
3
×
1
2
S△ABC=
1
3
S△ABC．
因此，△ABC的面積與△ABP的面積之比為3．
故選：A
點(diǎn)評(píng)：本題給出△ABC內(nèi)部一點(diǎn)P滿足的向量式，求△ABC的面積與△ABP的面積之比．著重考查了向量的加法法則、三角形的中線的性質(zhì)和三角形面積公式等知識(shí)，屬于中檔題．
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

設(shè)p是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，x，y，z是p到三邊a，b，c的距離，R是△ABC外接圓的半徑．
證明
x
+
y
+
z
≤
1
2R
a2+b2+c2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，
AP
=
1
3
(
AB
+
AC
)，則△ABC的面積與△ABP的面積之比
3：1
3：1
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（1）自圓O外一點(diǎn)P引切線與圓切于點(diǎn)A，M為PA中點(diǎn)，過(guò)M引割線交圓于B，C兩點(diǎn)．求證：∠MCP=∠MPB．
（2）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)A（0，1），B（2，1），C（2，3），D（0，2），經(jīng)矩陣M=
10
k1
表示的變換作用后，四邊形ABCD變?yōu)樗倪呅蜛1B1C1D1，問(wèn)：四邊形ABCD與四邊形A1B1C1D1的面積是否相等？試證明你的結(jié)論．
（3）已知A是曲線ρ=12sinθ上的動(dòng)點(diǎn)，B是曲線ρ=12cos(θ-
π
6
)上的動(dòng)點(diǎn)，試求AB的最大值．
（4）設(shè)p是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)，x，y，z是p到三邊a，b，c的距離，R是△ABC外接圓的半徑，證明
x
+
y
+
z
≤
1
2R
a2+b2+c2
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

（2010•淄博一模）P是△ABC內(nèi)的一點(diǎn)
AP
=
1
3
（
AB
+
AC
），則△ABC的面積與△ABP 的面積之比為（　�。�

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