Question

19．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-a_n+1，則M=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$的整數(shù)部分是（　　）

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 由題設(shè)知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），從而$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$，通過累加，得：M=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2018}-1}$=2-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$．由此能求出M的整數(shù)部分．

解答 解：∵數(shù)列{a_n}滿足a₁=$\frac{3}{2}$，a_n+1=a${\;}_{n}^{2}$-a_n+1，
∴由題設(shè)知，a_n+1-1=a_n（a_n-1），
∴$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n}}$，
∴$\frac{1}{{a}_{n}-1}$-$\frac{1}{{a}_{n+1}-1}$=$\frac{1}{{a}_{n}}$，
通過累加，得：
M=$\frac{1}{{a}_{1}}$+$\frac{1}{{a}_{2}}$+…+$\frac{1}{{a}_{2017}}$=$\frac{1}{{a}_{1}-1}-\frac{1}{{a}_{2018}-1}$
=2-$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$．
由a_n+1-a_n=（a_n-1）²≥0，即a_n+1≥a_n，
由a₁=$\frac{3}{2}$，得a₂=$\frac{7}{4}$，∴a₃=2$\frac{16}{5}$．
∴a₂₀₁₈≥a₂₀₁₇≥a₂₀₁₆≥a₃＞2，
∴0＜$\frac{1}{{a}_{2018}-1}$＜1，
∴1＜M＜2，
∴M的整數(shù)部分為1．
故選：A．

點評 本題考查數(shù)列的前n項的倒數(shù)和的整數(shù)部分的求法，考查構(gòu)造法、累加法等基礎(chǔ)知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想，是中檔題．