Question

14．已知函數(shù)f（x）=2a^x+x²-2xlna（a＞0，a≠1）
（1）求函數(shù)f（x）的最小值；
（2）若存在x₁，x₂∈[0，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥2e-3（e是自然對數(shù)的底數(shù)），求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)f'（x）對a進(jìn)行討論，求出函數(shù)f（x）的最小值；
（2）f（x）的最大值減去f（x）的最小值大于或等于2e-3，
根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，求f（x）的最大值和最小值，建立關(guān)于a的不等式，從而求出a的取值范圍．

解答 解：（1）函數(shù)f（x）=2a^x+x²-2xlna（a＞0，a≠1），
∴f′（x）=2a^xlna+2x-2lna=2[x+（a^x-1）lna]；
當(dāng)a＞1時，lna＞0，函數(shù)y=（a^x-1）lna在R上是單調(diào)增函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜1時，lna＜0，函數(shù)y=（a^x-1）lna在R上也是單調(diào)增函數(shù)；
又y=x在R上是單調(diào)增函數(shù)，所以f′（x）在R上是單調(diào)增函數(shù)；
令f′（x）=0，解得x=0；
則f′（x），f（x）隨x的變化情況如下表所示；

x	（-∞，0）	0	（0，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	減函數(shù)	極小值	增函數(shù)

所以函數(shù)f（x）的最小值為f（0）=2•a⁰+0-0=2；
（2）存在x₁，x₂∈[0，1]，使得|f（x₁）-f（x₂）|≥2e-3，
得x∈[0，1]時，f（x）_max-f（x）_min≥2e-3；
當(dāng)x∈[0，1]時，f（x）的最小值是f（x）_min=f（0）=2，
f（x）的最大值是f（x）_max=f（1）=2a+1-2lna；
∴f（x）_max-f（x）_min=2a-1-2lna≥2e-3，
即a-lna≥e-1；
設(shè)g（a）=a-lna，則g′（a）=1-$\frac{1}{a}$，
當(dāng)a＞1時，g′（a）＞0，g（a）單調(diào)遞增，得a-lna≥e-1，解得a≥e；
當(dāng)0＜a＜1時，得$\frac{1}{a}$+lna≥e-1，解得0＜a≤$\frac{1}{e}$；
所以實數(shù)a的取值范圍是0＜a≤$\frac{1}{e}$或a≥e．

點評 本題考查了基本函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式，導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性及利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值，屬于難題．