Question

如圖，設(shè)P是圓O：x²+y²=2上的點(diǎn)，過P作直線l垂直x軸于點(diǎn)Q，M為l上一點(diǎn)，且

PQ

=

2

MQ

，當(dāng)點(diǎn)P在圓上運(yùn)動(dòng)時(shí)，記點(diǎn)M的軌跡為曲線P．
（1）求曲線P的方程；
（2）某同學(xué)研究發(fā)現(xiàn)：若把三角形的直角頂點(diǎn)放置在圓O的圓周上，使其一條直角邊過點(diǎn)F（1，0），則三角板的另一條直角邊所在直線與曲線P有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．你認(rèn)為該同學(xué)的結(jié)論是否正確？若正確，請(qǐng)證明；若不正確，說明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的綜合問題

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（1）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），x_P=x.yP=

2

y，由已知得x2+(

2

y)2=2，由此能求出曲線P的方程．（2）設(shè)三角板的直角頂點(diǎn)放置在圓O的圓周上的點(diǎn)N（a，b）處，則a²+b²=2，又設(shè)三角板的另一版權(quán)法直角邊所在直線為l′，由此根據(jù)a的取值范圍進(jìn)行分類討論，能求出l′與曲線P有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，該同學(xué)的結(jié)論正確．

解答： 解：（1）設(shè)M（x，y），P（x₀，y₀），
∵PQ⊥x軸于點(diǎn)Q，M為直線l上一點(diǎn)，且PQ=

2

MQ，
∴x_P=x.yP=

2

y，
∵點(diǎn)P在圓O：x²+y²=2上，∴xP2+yp2=2，
∴x2+(

2

y)2=2，整理，得

x2

2

+y2=1，
∴曲線P的方程為

x2

2

+y²=1．
（2）設(shè)三角板的直角頂點(diǎn)放置在圓O的圓周上的點(diǎn)N（a，b）處，
則a²+b²=2，
又設(shè)三角板的另一版權(quán)法直角邊所在直線為l′，
（i）當(dāng)a=1時(shí)，直線NF⊥x軸，l′：y=±1，
由題意知l′與曲線P有且只有一個(gè)公共點(diǎn)．
（ii）當(dāng)a≠1時(shí)，則kNP=

b

a-1

，
若b=0，則直線l′：x=±

2

，由題意知l′與曲線P有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，
若b≠0，則直線l′的斜率k=

1-a

b

，
∴l(xiāng)′：y-b=

1-a

b

（x-a），即y=

1-a

b

x+

2-a

b

，
由

x2 2 +y2=1 y= 1-a b x+ 2-a b

，得[b²+2（1-a²）]x²+4（1-a）（2-a）x+2[（2-a²）-b²]=0，（*）
又b²=2-a²，
∴方程（*）可化為（a-2）²x²+4（1-a）（2-a）x+4（a-1）²=0，
∴△=[4（1-a）（1-2a）]²-16（a-2）²（a-1）²=0，
∴l(xiāng)′與曲線P有且只有一個(gè)公共點(diǎn)
綜上所述，該同學(xué)的結(jié)論正確．

點(diǎn)評(píng)：本題考查圓的方程與性質(zhì)、橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì)、直線與圓錐曲線的關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、特殊與一般思想．