Question

9．已知橢圓F的方程為3x²+2y²=6，F(xiàn)在y軸正半軸上的焦點(diǎn)為M，與x軸正半軸的交點(diǎn)為N，以點(diǎn)M為圓心的圓M經(jīng)過點(diǎn)N．
（1）求圓M的方程；
（2）試判斷點(diǎn)P（$\sqrt{3}$cosθ，1+$\sqrt{2}$tsinθ），（0＜θ＜$\frac{π}{2}$）與圓M的位置關(guān)系，并說明理由；
（3）若直線l經(jīng)過點(diǎn)M且與橢圓F交于A、B兩點(diǎn)，當(dāng)$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MN}$=0時(shí)求△ABN的面積．

Answer 1

分析 （1）將橢圓方程化成一般式方程得出M，N的坐標(biāo)，計(jì)算|MN|，從而得出園M的方程；
（2）計(jì)算|MP|²，討論|MP|²與3的大小關(guān)系得出結(jié)論；
（3）根據(jù)AB⊥MN求出直線AB的方程，聯(lián)立方程組消元，計(jì)算|AB|，則S_△ABN=$\frac{1}{2}|AB|•|MN|$．

解答 解：（1）橢圓F的標(biāo)準(zhǔn)方程為：$\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$，
∴M（0，1），N（$\sqrt{2}$，0），|MN|²=3，
∴圓M的方程為：x²+（y-1）²=3．
（2）|MP|²=3cos²θ+2t²sin²θ=3-3sin²θ+2t²sin²θ=3+（2t²-3）sinθ，
∵0$＜θ＜\frac{π}{2}$，∴sinθ＞0，
∴當(dāng)2t²-3＞0即t＞$\frac{\sqrt{6}}{2}$或t＜-$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，|MP|²＞3，此時(shí)點(diǎn)P在圓M外部；
當(dāng)2t²-3=0即t=±$\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，|MP|²=3，此時(shí)點(diǎn)P在圓M上；
當(dāng)2t²-3＜0即-$\frac{\sqrt{6}}{2}＜t＜\frac{\sqrt{6}}{2}$時(shí)，|MP|²＜3，此時(shí)點(diǎn)P在圓M內(nèi)部．
（3）∵$\overrightarrow{AB}$•$\overrightarrow{MN}$=0，∴AB⊥MN，
∵k_MN=$\frac{1}{-\sqrt{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$，∴k_AB=$\sqrt{2}$．
∴直線l的方程為y=$\sqrt{2}$x+1．
聯(lián)立方程組$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{2}x+1}\\{\frac{{x}^{2}}{2}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，消元得：7x²+4$\sqrt{2}$x-4=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則x₁+x₂=-$\frac{4\sqrt{2}}{7}$，x₁x₂=-$\frac{4}{7}$．
∴|AB|=$\sqrt{1+2}$$\sqrt{（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{12\sqrt{3}}{7}$，
∴S_△ABN=$\frac{1}{2}|AB|•|MN|$=$\frac{1}{2}×\frac{12\sqrt{3}}{7}×\sqrt{3}$=$\frac{18}{7}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的性質(zhì)，點(diǎn)與圓，直線與圓的位置關(guān)系，距離公式的應(yīng)用，屬于中檔題．