Question

13．（1）設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z|=1，且（3+4i）•z為純虛數(shù)，求$\overline{z}$；
（2）已知（2$\sqrt{x}$-$\frac{1}{{\sqrt{x}}}}$）ⁿ的展開式中所有二項(xiàng)式系數(shù)之和為64，求展開式的常數(shù)項(xiàng)．

Answer 1

分析 （1）設(shè)z=a+bi，則依題意得（3+4i）（a+bi）=3a-4b+（3b+4a）i為純虛數(shù)，且|z|=1，列出方程組，求解即可得答案；
（2）利用二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，求出n，然后通過(guò)二項(xiàng)式定理的通項(xiàng)公式求出常數(shù)項(xiàng)即可．

解答 解：（1）設(shè)z=a+bi，則依題意得（3+4i）（a+bi）=3a-4b+（3b+4a）i為純虛數(shù)，且|z|=1，
∴$\left\{\begin{array}{l}3a-4b=0\\{a^2}+{b^2}=1\\ 3b+4a≠0\end{array}\right.$，解之得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{5}\\ b=\frac{3}{5}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}a=-\frac{4}{5}\\ b=-\frac{3}{5}\end{array}\right.$，
∴$\overline{z}=\frac{4}{5}-\frac{3}{5}i$或$\overline{z}=-\frac{4}{5}+\frac{3}{5}i$；
（2）依題意得2ⁿ=64，∴n=6．
展開式中第r+1項(xiàng)為${T}_{r+1}{=C}_{n}^{r}{2}^{n-r}{x}^{\frac{6-r}{2}}（-1）^{r}{x}^{-\frac{r}{2}}$=$（-1{）^{r}C}_{n}^{r}{2}^{n-r}{x}^{3-r}$，
當(dāng)3-r=0時(shí)，即r=3，
∴${T}_{4}=（-1{）^{3}C}_{6}^{3}{2}^{3}=-160$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，考查了二項(xiàng)式定理系數(shù)的性質(zhì)，通項(xiàng)公式的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，是中檔題．