Question

6．設(shè)函數(shù)f（x）=ax-（a+1）lnx，其中a≥-1，求f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析 求導，根據(jù)導函數(shù)的正負判斷原函數(shù)的單調(diào)性，通過討論一次函數(shù)一次項系數(shù)得出單調(diào)區(qū)間．

解答 解：由已知得函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
∵f′（x）=$\frac{ax-a-1}{x}$（a≥-1），
（1）當-1≤a≤0時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減，
（2）當a＞0時，由f′（x）=0，解得x=1$+\frac{1}{a}$．
當x∈（0，1$+\frac{1}{a}$ ）時，f′（x）＜0，函數(shù)f（x）在（0，1$+\frac{1}{a}$ ）上單調(diào)遞減．
當x∈（1$+\frac{1}{a}$，+∞）時，f′（x）＞0，函數(shù)f（x）在（1$+\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增．
綜上所述：
當-1≤a≤0時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上單調(diào)遞減．
當a＞0時，函數(shù)f（x）在（0，1$+\frac{1}{a}$ ）上單調(diào)遞減，函數(shù)f（x）在（1$+\frac{1}{a}$，+∞）上單調(diào)遞增．

點評 考查了導函數(shù)應用和對一次函數(shù)分類討論問題．