Question

【題目】若數(shù)列共有k項，且同時滿足，，則稱數(shù)列為數(shù)列.

（1）若等比數(shù)列為數(shù)列，求的值；

（2）已知為給定的正整數(shù)，且，

①若公差為的等差數(shù)列是數(shù)列，求公差d；

②若數(shù)列的通項公式為，其中常數(shù)，判斷數(shù)列是否為數(shù)列，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）；（2）①；②不是，詳見解析

【解析】

（1）根據(jù)新定義結(jié)合等比數(shù)列即可求出的值；

（2）①設(shè)等差數(shù)列的公差為，根據(jù)新定義以及等差數(shù)列的性質(zhì)即可求出公差的值；②若數(shù)列是數(shù)列，根據(jù)新定義，對的值分奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況討論，即可判斷出數(shù)列是否為數(shù)列.

（1）設(shè)等比數(shù)列的公比為，

∵數(shù)列為數(shù)列，∴，

∴，即，

∴，

又∵，∴，解得；

（2））①設(shè)等差數(shù)列的公差為，

∵數(shù)列是數(shù)列，

∴，即，

∵，∴，

∴，即，

又∵，且，

∴，

即，解得，

∴等差數(shù)列的公差為得；

②若數(shù)列是數(shù)列，則有：，，

∵，且，

∴（*），

（**），

當為偶數(shù)時，在（*）中，，，所以（*）不成立，

當m為奇數(shù)時，由（*）+（**）得：，

又∵，∴，解得，

∵為奇數(shù)，∴，

∴，整理得：，即，與矛盾，

綜上可知，數(shù)列不是數(shù)列.