【題目】已知數(shù)列{an}中,點(an,an+1)在直線y=x+2上,且首項a1=1.
(1)求數(shù)列{an}的通項公式;
(2)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,等比數(shù)列{bn}中,b1=a1,b2=a2,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn,請寫出適合條件Tn≤Sn的所有n的值.
【答案】(1)an=2n-1(2)n=1或2
【解析】試題分析:(1)由點(an,an+1)在直線y=x+2上,且首項a1=1.可得an+1﹣an=2,利用等差數(shù)列的通項公式即可得出.
(2)數(shù)列{an}是的前n項和Sn=n2.等比數(shù)列{bn}中,b1=a1=1,b2=a2=3,利用等比數(shù)列的求和公式可得{bn}的前n項和Tn,代入Tn≤Sn,即可得出.
試題解析:
(1)根據(jù)已知a1=1,an+1=an+2,
即an+1-an=2=d,
所以數(shù)列{an}是首項為1,公差為2的等差數(shù)列,
an=a1+(n-1)d=2n-1.
(2)數(shù)列{an}的前n項和Sn=n2.
等比數(shù)列{bn}中,b1=a1=1,b2=a2=3,
所以q=3,bn=3n-1.
數(shù)列{bn}的前n項和Tn==.
Tn≤Sn即≤n2,又n∈N*,
所以n=1或2.
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【題目】已知函數(shù)
(Ⅰ)若,求曲線在點處的切線方程;
(Ⅱ)若在上恒成立,求實數(shù)的取值范圍;
(Ⅲ)若數(shù)列的前項和, ,求證:數(shù)列的前項和.
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【題目】某市A,B,C,D四所中學(xué)報名參加某高校2015年自主招生考試的學(xué)生人數(shù)如下表所示:
中學(xué) | A | B | C | D |
人數(shù) | 40 | 30 | 10 | 20 |
該市教委為了解參加考試的學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況,采用分層抽樣的方法從四所中學(xué)報名參加考試的學(xué)生中隨機抽取50名參加問卷調(diào)查.則A,B,C,D四所中學(xué)抽取的學(xué)生人數(shù)分別為( )
A.15,20,10,5B.15,20,5,10
C.20,15,10,5D.20,15,5,10
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【題目】如圖,已知三棱錐的三條側(cè)棱, , 兩兩垂直, 為等邊三角形, 為內(nèi)部一點,點在的延長線上,且.
(Ⅰ)證明: ;
(Ⅱ)證明: ;
(Ⅲ)若,求二面角的余弦值.
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【題目】某網(wǎng)站舉行“衛(wèi)生防疫”的知識競賽網(wǎng)上答題,共有120000人通過該網(wǎng)站參加了這次競賽,為了解競賽成績情況,從中抽取了100人的成績進行統(tǒng)計,其中成績分組區(qū)間為,,,,,其頻率分布直方圖如圖所示,請你解答下列問題:
(1)求的值;
(2)成績不低于90分的人就能獲得積分獎勵,求所有參賽者中獲得獎勵的人數(shù);
(3)根據(jù)頻率分布直方圖,估計這次知識競賽成績的平均分(用組中值代替各組數(shù)據(jù)的平均值).
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【題目】如圖,正方體的棱長為2,P為BC的中點,Q為線段上的動點,過點A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S,則下列命題正確的是______(寫出所有正確命題的編號).
①當時,S為四邊形;②當時,S為等腰梯形;③當時,S與的交點R滿足;④當時,S為五邊形;⑤當時,S的面積為.
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【題目】如圖所示,在四棱臺ABCDA1B1C1D1中,AA1⊥底面ABCD,四邊形ABCD為菱形,∠BAD=120°,AB=AA1=2A1B1=2.
(1)若M為CD中點,求證:AM⊥平面AA1B1B;
(2)求直線DD1與平面A1BD所成角的正弦值.
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【題目】若數(shù)列共有k項,且同時滿足,,則稱數(shù)列為數(shù)列.
(1)若等比數(shù)列為數(shù)列,求的值;
(2)已知為給定的正整數(shù),且,
①若公差為的等差數(shù)列是數(shù)列,求公差d;
②若數(shù)列的通項公式為,其中常數(shù),判斷數(shù)列是否為數(shù)列,并說明理由.
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【題目】某中學(xué)的環(huán)保社團參照國家環(huán)境標準制定了該校所在區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)與空氣質(zhì)量等級對應(yīng)關(guān)系如下表(假設(shè)該區(qū)域空氣質(zhì)量指數(shù)不會超過300):
空氣質(zhì)量指數(shù) | ||||||
空氣質(zhì)量等級 | 1級優(yōu) | 2級良 | 3級輕度污染 | 4級中度污染 | 5級重度污染 | 6級嚴重污染 |
該社團將該校區(qū)在2018年11月中10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為樣本,繪制的頻率分布直方圖如下圖,把該直方圖所得頻率估計為概率.
(Ⅰ)以這10天的空氣質(zhì)量指數(shù)監(jiān)測數(shù)據(jù)作為估計2018年11月的空氣質(zhì)量情況,則2018年11月中有多少天的空氣質(zhì)量達到優(yōu)良?
(Ⅱ)已知空氣質(zhì)量等級為1級時不需要凈化空氣,空氣質(zhì)量等級為2級時每天需凈化空氣的費用為1000元,空氣質(zhì)量等量等級為3級時每天需凈化空氣的費用為2000元.若從這10天樣本中空氣質(zhì)量為1級、2級、3級的天數(shù)中任意抽取兩天,求這兩天的凈化空氣總費用為3000元的概率.
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