Question

8．函數(shù)f（x）為定義在R上周期為2的奇函數(shù)，且x∈（-1，1）時，f（x）=$\frac{{3}^{x}-a}{{3}^{x}+1}$（a∈R）．
（1）求a的值；
（2）求f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$6）的值．

Answer 1

分析 （1）利用函數(shù)的奇偶性的性質(zhì)可得f（0）=0，由此求得a的值．
（2）利用奇函數(shù)的性質(zhì)、對數(shù)的運算性質(zhì)，化簡所給的式子，可得結(jié)果．

解答 解：（1）∵函數(shù)f（x）為定義在R上周期為2的奇函數(shù)，且x∈（-1，1）時，f（x）=$\frac{{3}^{x}-a}{{3}^{x}+1}$（a∈R），
∴f（0）=$\frac{1-a}{2}$=0，求得a=1，∴f（x）=$\frac{{3}^{x}-a}{{3}^{x}+1}$=$\frac{{3}^{x}-1}{{3}^{x}+1}$．
（2）f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$6）=f（2+log${\;}_{\frac{1}{3}}$6）=f（log${\;}_{\frac{1}{3}}$$\frac{2}{3}$）=f（${log}_{3}\frac{3}{2}$）=$\frac{{3}^{{log}_{3}\frac{3}{2}}-1}{{3}^{{log}_{3}\frac{3}{2}}+1}$=$\frac{\frac{3}{2}-1}{\frac{3}{2}+1}$=$\frac{1}{5}$．

點評 本題主要考查函數(shù)的周期性和奇偶性的應(yīng)用，對數(shù)的運算性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題．