Question

20．已知?jiǎng)訄AP：（x-a）²+（y-b）²=r²（r＞0）被y軸所截的弦長(zhǎng)為2，被x軸分成兩段弧，且弧長(zhǎng)之比等于$\frac{1}{3}$．
（1）若a=-1，b=1，r=$\sqrt{2}$，求此時(shí)與圓相切且與直線x-2y=0垂直的直線方程．
（2）點(diǎn)P在直線y=2x上的投影為A，求事件“在圓P內(nèi)隨機(jī)地投入一點(diǎn)，使這一點(diǎn)恰好在△P0A內(nèi)”的概率的最大值．（其中P（a，b）為圓心）

Answer 1

分析 （1）由已知得到圓的切線的斜率，設(shè)出圓的切線方程，利用點(diǎn)到直線的距離公式求解；
（2）利用點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式先計(jì)算出三角形的面積，利用幾何概率的計(jì)算公式得出概率，進(jìn)而利用基本不等式求得其最大值．

解答 解：（1）a=-1，b=1，r=$\sqrt{2}$，圓心坐標(biāo)P（-1，1），半徑r=$\sqrt{2}$，
由題意可知，所求圓的切線的斜率為-2，設(shè)切線方程為y=-2x+m，
由圓心到切線的距離等于半徑得：$\frac{|-2+1-m|}{\sqrt{5}}=\sqrt{2}$，
解得m=-1+$\sqrt{10}$或m=-1-$\sqrt{10}$．
則圓的切線方程為2x+y+1-$\sqrt{10}$=0和2x+y+1+$\sqrt{10}=0$；
（2）設(shè)圓P被y軸所截的弦為EF，與x軸相較于C，D兩點(diǎn)，
過點(diǎn)P作PM⊥EF，垂足為M，連接PE，由垂徑定理可得|EM|=1，
在Rt△EMP中，r²=1+a²．①
∵被x軸分成兩段弧，且弧長(zhǎng)之比等于$\frac{1}{3}$，設(shè)$\widehat{CD}$為劣弧，
∴∠CPD=90°，
過點(diǎn)P作PN⊥x軸，垂足無N，連接PD，PC，則Rt△PND為等腰直角三角形，∴r²=2b²．②
聯(lián)立①②消去r可得：2b²=1+a²，即為a，b所滿足的關(guān)系式．
點(diǎn)P到直線y=2x的距離|PA|=$\frac{|2a-b|}{\sqrt{5}}=d$，
∵PA⊥OA，∴|OA|=$\sqrt{{r}^{2}-|PA{|}^{2}}=\sqrt{{r}^{2}-ptvbfrt^{2}}$，
∴S_△OAP=$\frac{1}{2}$|OA||PA|=$\frac{1}{2}$d•$\sqrt{{r}^{2}-jd1rn1h^{2}}$，
∴事件“在圓P內(nèi)隨機(jī)地投入一點(diǎn)，使這一點(diǎn)恰好在△POA內(nèi)”的概率P=$\frac{{S}_{△OAP}}{{S}_{⊙P}}$=$\frac{\frac{1}{2}d\sqrt{{r}^{2}-7jb33jx^{2}}}{π{r}^{2}}$
≤$\frac{xbxvpjn^{2}+{r}^{2}-dbpd11z^{2}}{4π{r}^{2}}=\frac{1}{4π}$，當(dāng)且僅當(dāng)d²=r²-d²，即$\left\{\begin{array}{l}{{r}^{2}=1+{a}^{2}}\\{{r}^{2}=2^{2}}\\{{r}^{2}=2（\frac{2a-b}{\sqrt{5}}）^{2}}\end{array}\right.$，解得${a}^{2}=\sqrt{5}-2，^{2}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$．
∴P的最大值為$\frac{1}{4π}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓位置關(guān)系的應(yīng)用，熟練掌握垂徑定理，勾股定理、等腰直角三角形的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、兩點(diǎn)間的距離公式、幾何概率的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵，是中檔題．