Question

6．公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和為S_n，且a₁=1，S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列
（1）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（2）設b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$，證明對任意的n∈N^*，b₁+b₂+b₃+…+b_n＜2恒成立．

Answer 1

分析 （1）由已知，得S₂²=S₁•S₄，利用等差數(shù)列前n項和公式求出首項和公差，由此能求出a_n．
（2）先根據(jù)等差數(shù)列的求和公式，求出b_n，當n≥2時，由放縮以及裂項法求和即可求出答案．

解答 解：（1）∵S_n為公差不為0的等差數(shù)列{a_n}的前n項和，
且a₁=1，S₁，S₂，S₄成等比數(shù)列，
∴由已知，得S₂²=S₁•S₄，
即a₁（4a₁+6d）=（2a₁+d）²，
整理得2a₁d=d²，
又由a₁=1，d≠0，解得d=2，
故a_n=1+（n-1）×2=2n-1．n∈N^*．
（2）證明：由（1）知S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×2=n²，
∴b_n=$\frac{1}{{S}_{n}}$=$\frac{1}{{n}^{2}}$＜$\frac{1}{n（n-1）}$=$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$，n≥2，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n＜1+$\frac{1}{1}$-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{3}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$=1+1-$\frac{1}{n}$＜2．

點評 本題考查數(shù)列的通項公式和前n項和公式的求法，考查數(shù)列的通項公式的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意裂項求和法的合理運用．