Question

12．已知圓x²+y²+x-y+m=0與直線x+y-3=0交于點(diǎn)P、Q，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若OP⊥OQ，求實(shí)數(shù)m的值．

Answer 1

分析 化圓的一般方程為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出圓心坐標(biāo)和半徑，由OP⊥OQ，可得圓心到直線的距離等于$\frac{\sqrt{2}}{2}r$，結(jié)合點(diǎn)到直線的距離公式可得答案．

解答 解：由x²+y²+x-y+m=0，得$（x+\frac{1}{2}）^{2}+（y-\frac{1}{2}）^{2}=\frac{1}{2}-m$，
則m$＜\frac{1}{2}$，圓的半徑r=$\sqrt{\frac{1}{2}-m}$，
∵OP⊥OQ，∴圓心（-$\frac{1}{2}$，$\frac{1}{2}$）到直線x+y-3=0的距離d=$\frac{\sqrt{2}}{2}r=\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{\frac{1}{2}-m}$，
則$\frac{|-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-3|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{2}•\sqrt{\frac{1}{2}-m}$，解得：m=$-\frac{17}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查了點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．