Question

在一次自主招生選拔考核中，每個(gè)候選人都需要進(jìn)行四輪考核，每輪設(shè)有一個(gè)問(wèn)題，能正確回答者進(jìn)入下一輪考核，否則被淘汰，已知某候選人能正確回答第一，二，三，四輪問(wèn)題的概率分別為

5

6

，

4

5

，

3

4

，

1

3

，且各輪問(wèn)題能否正確回答互不影響．
（I）求該選手進(jìn)入第三輪才被淘汰的概率；
（Ⅱ）該選手在選拔過(guò)程中回答問(wèn)題的個(gè)數(shù)記為X，求隨機(jī)變量X的分布列和期望．

Answer 1

考點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量的期望與方差,相互獨(dú)立事件的概率乘法公式

專(zhuān)題：概率與統(tǒng)計(jì)

分析：（Ⅰ）設(shè)事件A_i（i=1，2，3，4）表示“該選手能正確回答第i輪問(wèn)題”，由已知P（A₁）=

5

6

，P（A₂）=

4

5

，P（A₃）=

3

4

，P（A₄）=

1

3

，設(shè)事件B表示“該選手進(jìn)入第三輪被淘汰”，則P（B）=P（A₁A₂

.

A3

），由此能求出結(jié)果．
（2）由已知得X=1，2，3，4，分別求出相應(yīng)的概率，由此能求出隨機(jī)變量X的分布列和期望．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)事件A_i（i=1，2，3，4）表示“該選手能正確回答第i輪問(wèn)題”．
由已知P（A₁）=

5

6

，P（A₂）=

4

5

，P（A₃）=

3

4

，P（A₄）=

1

3

，…（4分）
設(shè)事件B表示“該選手進(jìn)入第三輪被淘汰”，
則P（B）=P（A₁A₂

.

A3

）=

5

6

×

4

5

×(1-

3

4

)=

1

6

．…（6分）
（2）由已知得X=1，2，3，4，
P（X=1）=

1

6

，
P（X=2）=

5

6

×(1-

4

5

)=

1

6

，
P（X=3）=

5

6

×

4

5

×(1-

3

4

)=

1

6

，
P（X=4）=

5

6

×

4

5

×

3

4

=

1

2

，
∴X的分布列為：

X	1	2	3	4
P	1 6	1 6	1 6	1 2

EX=1×

1

6

+2×

1

6

+3×

1

6

+4×

1

2

=3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查概率的求法，考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題．