Question

已知橢圓C₁：

x2

t

+y²=36（t＞0）的兩條準(zhǔn)線與雙曲線C₂：5x²-y²=36的兩條準(zhǔn)線所圍成的四邊形面積為12

6

，直線l與雙曲線C₂的右支相交于P、Q兩點(diǎn)（其中P點(diǎn)在第一象限），線段OP與橢圓C₁交于點(diǎn)A，O為坐標(biāo)原點(diǎn)（如圖所示）
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)t的值；
（Ⅱ）若

OP

=3

OA

，△PAQ的面積S=-26•tan∠PAQ，求
（1）線段AP的長，
（2）直線l的方程．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,直線的一般式方程與直線的平行關(guān)系

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：（I）由雙曲線C₂：5x²-y²=36可得兩條準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

=

30

5

．由橢圓C₁：

x2

t

+y²=36（t＞0）化為

x2

36t

+

y2

36

=1，可得C₁準(zhǔn)線方程為y=±

6

1-t

．利用12

6

=2×

30

5

×2×

6

1-t

，解得t即可得出．
（II）（1）由（I）可得C₁：5x²+y²=36，C₂：5x²-y²=36，設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

OP

=3

OA

得A(

x1

3

，

y1

3

)，把P，A分別代入雙曲線與橢圓的方程解出即可得出．
（2）由△PAQ的面積S=-26•tan∠PAQ=

1

2

|AP||AQ|sin∠PAQ，可得|AQ|cos∠PAQ=-

13

5

，由

AP

•

AQ

=|

AP

||

AQ

|cos∠PAQ可得

AP

•

AQ

=-52．利用數(shù)量積運(yùn)算及其Q在雙曲線C₂上，聯(lián)立解得即可．

解答： 解：（I）雙曲線C₂：5x²-y²=36化為：

x2

36 5

-

y2

36

=1，可得a2=

36

5

，b²=36，c²=a²+b²=

216

5

．
∴兩條準(zhǔn)線方程為x=±

a2

c

=

30

5

．
橢圓C₁：

x2

t

+y²=36（t＞0）化為

x2

36t

+

y2

36

=1，
由題意可知t＜1，可得C₁準(zhǔn)線方程為y=±

6

1-t

．
由12

6

=2×

30

5

×2×

6

1-t

，解得t=

1

5

＜1滿足題意．
故t=

1

5

．
（II）（1）由（I）可得C₁：5x²+y²=36，C₂：5x²-y²=36，
設(shè)P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），則5

x

2 1

-

y

2 1

=36，①
∵

OP

=3

OA

得A(

x1

3

，

y1

3

)，
代入橢圓方程得5

x

2 1

+

y

2 1

=36×9     ②
聯(lián)立①得x₁=6，y₁=12，
故P（6，12），A（2，4），有|AP|=4

5

．
（2）由△PAQ的面積S=-26•tan∠PAQ=

1

2

|AP||AQ|sin∠PAQ，
∴|AQ|cos∠PAQ=-

13

5

，
由

AP

•

AQ

=|

AP

||

AQ

|cos∠PAQ可得

AP

•

AQ

=-52．
即4（x₂-2）+8（y₂-4）=-52 ③
又Q在雙曲線C₂上有5

x

2 2

-

y

2 2

=36④
聯(lián)立③④得x₂=3，y₂=-3，
由P（6，12），Q（3，-3）得直線l方程為：5x-y-18=0．

點(diǎn)評：本題考查了橢圓與雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、向量的坐標(biāo)運(yùn)算及其數(shù)量積運(yùn)算、三角形的面積計(jì)算公式、矩形的面積計(jì)算公式、直線的方程，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．