Question

如圖是一個(gè)直三棱柱（以A₁B₁C₁為底面）被一平面所截得到的幾何體，截面為ABC．已知A₁B₁=B₁C₁=l，∠A_lB_lC₁=90°，AA_l=4，BB_l=2，CC_l=3，且設(shè)點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)．
（1）證明：OC∥平面A₁B₁C₁；
（2）求異面直線OC與A_lB_l所成角的正切值．

Answer 1

考點(diǎn)：異面直線及其所成的角,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離,空間角

分析：（1）由題意及圖形，利用直三棱柱的特點(diǎn)，因?yàn)镺為中點(diǎn)連接OD，由題意利用借助線面垂直的判定定理證明OC∥平面A₁B₁C_1；
（2）取A_lB的中點(diǎn)M，則OC∥MC₁，∠C₁MB₁為異面直線OC與A_lB_l所成角，可求異面直線OC與A_lB_l所成角的正切值．

解答： （1）證明：作OD∥AA₁交A₁B₁于D，連C₁D．
則OD∥BB₁∥CC₁．
因?yàn)镺是AB的中點(diǎn)，
所以O(shè)D=

1

2

（AA₁+BB₁）=3=CC₁．
則ODC₁C是平行四邊形，因此有OC∥C₁D．C₁D?平面C₁B₁A₁且OC?平面C₁B₁A₁，
則OC∥面A₁B₁C₁．
（2）解：取A_lB的中點(diǎn)M，則OC∥MC₁，
∴∠C₁MB₁為異面直線OC與A_lB_l所成角，
∴異面直線OC與A_lB_l所成角的正切值為2．

點(diǎn)評(píng)：此題重點(diǎn)考查了線面平行的判定定理，考查異面直線OC與A_lB_l所成角的正切值，屬于中檔題．