Question

10．某樹苗培育基地為了解其基地內(nèi)榕樹樹苗的長勢情況，隨機抽取了100株樹苗，分別測出它們的高度（單位：cm），并將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布表如表：

組 距	頻 數(shù)	頻 率
[100，102）	16	0.16
[102，104）	18	0.18
[104，106）	25	0.25
[106，108）	a	b
[108，110）	6	0.06
[110，112）	3	0.03
合計	100	1

（1）求如表中a、b的值；
（2）估計該基地榕樹樹苗平均高度；
（3）若將這100株榕樹苗高度分布的頻率視為概率，從培育基地的榕樹苗中隨機選出4株，其中在[104，106）內(nèi)的有X株，求X的分布列和期望．

Answer 1

分析 （1）由頻率分布表，能求出a和b；
（2）取組距的中間值，能估計該基地榕樹樹苗平均高度；
（3）由頻率分布表知樹苗高度在[104，106）范圍內(nèi)的有25株，因此X的所有可能取值為0，1，2，3，4分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和期望．

解答 解：（1）由頻率分布表，知：a=100-16-18-25-6-3=32，$b=\frac{32}{100}=0.32$；
（2）估計該基地榕樹樹苗平均高度為
$\frac{101×16+103×18+105×25+107×32+109×6+111×3}{100}=105.06$（cm）；
（3）由頻率分布表知樹苗高度在[104，106）范圍內(nèi)的有25株，
因此X的所有可能取值為0，1，2，3，4…
$P（x=0）=C_4^0{（\frac{3}{4}）^4}=\frac{81}{256}$，
$P（x=1）=C_4^1\frac{1}{4}{（\frac{3}{4}）^3}=\frac{27}{64}$，
$P（x=2）=C_4^2{（\frac{1}{4}）^2}{（\frac{3}{4}）^2}=\frac{27}{128}$，
$P（x=3）=C_4^3{（\frac{1}{4}）^3}{（\frac{3}{4}）^{\;}}=\frac{3}{64}$
$P（x=4）=C_4^4{（\frac{1}{4}）^4}=\frac{1}{256}$．
分布列為

X	0	1	2	3	4
P	$\frac{81}{256}$	$\frac{27}{64}$	$\frac{27}{128}$	$\frac{3}{64}$	$\frac{1}{256}$

E（X）=np=4×0.24=1．

點評 本題考查頻率分布表的應用，考查離散型隨機變量的分布列和數(shù)學期望的求法，是中檔題．