Question

20．已知函數(shù)f（x）=sin（$\frac{5π}{6}$-2x）-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{3π}{4}$）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期和單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，且F（x）=-4λf（x）-cos（4x-$\frac{π}{3}$）的最小值是-$\frac{3}{2}$，求實數(shù)λ的值．

Answer 1

分析 （1）先利用兩角和余差和二倍角等基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，再利用周期公式求函數(shù)的最小正周期，最后將內(nèi)層函數(shù)看作整體，放到正弦函數(shù)的增區(qū)間上，解不等式得函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]時，化解F（x），求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的最小值，可得實數(shù)λ的值．

解答 解：函數(shù)f（x）=sin（$\frac{5π}{6}$-2x）-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（x+$\frac{3π}{4}$）．
化簡可得：f（x）=sin$\frac{5π}{6}$cos2x-cos$\frac{5π}{6}$sin2x-2sin（x-$\frac{π}{4}$）cos（π-$\frac{π}{4}$+x）
=$\frac{1}{2}$cos2x+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x+sin（2x-$\frac{π}{2}$）
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x
=sin（2x-$\frac{π}{6}$）
（1）函數(shù)f（x）的最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
∵2x-$\frac{π}{6}$∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]，k∈Z單調(diào)遞增區(qū)間；即$2kπ-\frac{π}{2}$≤2x-$\frac{π}{6}$≤$2kπ+\frac{π}{2}$，
解得：$kπ-\frac{π}{6}$≤x≤$kπ+\frac{π}{3}$，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[$kπ-\frac{π}{6}$，$kπ+\frac{π}{3}$]，k∈Z．
（2）由F（x）=-4λf（x）-cos（4x-$\frac{π}{3}$）
=-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）-cos（4x-$\frac{π}{3}$）
=-4λsin（2x-$\frac{π}{6}$）-1+2sin²（2x-$\frac{π}{6}$）
令t=sin（2x-$\frac{π}{6}$），
x∈[$\frac{π}{12}$，$\frac{π}{3}$]，
∴2x-$\frac{π}{6}$∈[0，$\frac{π}{2}$]
∴0≤t≤1
那么F（x）轉(zhuǎn)化為g（t）=-4λt+2t²-1，
其對稱軸t=λ，開口向上，
當(dāng)t=λ時，取得最小值為$-\frac{3}{2}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{g（λ）=-\frac{3}{2}}\\{0≤λ≤1}\end{array}\right.$，
解得：λ=$\frac{1}{4}$．
故得實數(shù)λ的值為$\frac{1}{4}$．

點評 本題主要考查對三角函數(shù)的化簡能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．