Question

【題目】已知橢圓的離心率為，以原點為圓心，橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線相切.

（1）求橢圓的標準方程；

（2）若直線與橢圓相交于兩點且.求證： 的面積為定值.

Answer 1

【答案】（1）；（2）.

【解析】試題分析：（1）由橢圓的離心率為，圓心到直線的距離為等于及聯(lián)立方程組可求解，從而求得橢圓方程；（2）把直線的方程和橢圓方程聯(lián)立，利用根與系數的關系求出直線和橢圓的兩交點橫坐標的和與積，代入直線方程得到縱坐標的積，結合得到斜率和的關系，利用弦長公式求出，利用點到直線的距離公式求出點到直線的距離，把三角形的面積表示為關于的代數式，整理后得到結果為定值．

試題解析：解：（1）由題意知，∴，即

又，

∴，橢圓的方程為

（2）設，由得，

， ．

， ，， ， ，8分