Question

11．已知函數(shù)f（x）=lnx+$\frac{x-1}{x}$的一條切線方程為y=kx+b，則k+b的最小值為（　　）

• A． -1
• B． 0
• C． 1
• D． 2

Answer 1

分析 求得函數(shù)的導數(shù)，設出切點（m，n），可得切線的斜率，再由g（m）=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，求出導數(shù)，求得單調區(qū)間和極小值，也為最小值，即可得到所求值．

解答 解：f（x）=lnx+$\frac{x-1}{x}$的導數(shù)為f′（x）=$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{{x}^{2}}$，
設切點為（m，n），則k=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，
b=n-km=lnm+$\frac{m-1}{m}$-km=lnm-$\frac{2}{m}$，
即有k+b=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$，m＞0，
由g（m）=lnm-$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$的導數(shù)為g′（m）=$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{{m}^{2}}$-$\frac{2}{{m}^{3}}$=$\frac{（m-1）（m+2）}{{m}^{3}}$，
當m＞1時，g′（m）＞0，g（m）遞增；
當m＜1時，g′（m）＜0，g（m）遞減．
即有m=1處，g（m）取得極小值，且為最小值0．
即有k+b的最小值為0．
故選：B．

點評 本題考查導數(shù)的運用：求切線的斜率和單調區(qū)間、極值和最值，考查直線方程的運用，屬于中檔題．