Question

1．如圖，在多面體ABCDPE中，四邊形ABCD和CDPE都是直角梯形，AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F(xiàn)是CE的中點．
（1）求證：BF∥平面ADP；
（2）求二面角B-DF-P的余弦值．

Answer 1

分析 （1）取PD中點G，連結(jié)GF，AG，推導(dǎo)出四邊形ABFG是平行四邊形，從而AG∥BF，進(jìn)而能證明BF∥平面ADP．
（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出二面角B-DF-P的余弦值．

解答 證明：（1）取PD中點G，連結(jié)GF，AG，
∵AB∥DC，PE∥DC，AD⊥DC，PD⊥平面ABCD，AB=PD=DA=2PE，CD=3PE，F(xiàn)是CE的中點，
∴FG$\underset{∥}{=}$AB，∴四邊形ABFG是平行四邊形，∴AG∥BF，
∵AG?平面ADP，BF?平面ADP，∴BF∥平面ADP．
解：（2）以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DP為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)PE=1，則B（2，2，0），D（0，0，0），P（0，0，2），C（0，3，0），E（0，1，2），F(xiàn)（0，2，1），
$\overrightarrow{DB}$=（2，2，0），$\overrightarrow{DF}$=（0，2，1），$\overrightarrow{DP}$=（0，0，2），
設(shè)平面BDF的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=2x+2y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DF}=2y+z=0}\end{array}\right.$，取x=1，得$\overrightarrow{n}$=（1，-1，2），
設(shè)平面PDF的法向量$\overrightarrow{m}$=（a，b，c），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DB}=2a+2b=0}\\{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{DP}=2c=0}\end{array}\right.$，取a=1，則$\overrightarrow{m}$=（1，-1，0），
設(shè)二面角B-DF-P的平面角為θ，
則cosθ=$\frac{|\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{m}|•|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{2}{\sqrt{6}•\sqrt{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．
∴二面角B-DF-P的余弦值為$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查線面平行的證明，考查二面角的余弦值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意向量法的合理運用．