Question

18．在數(shù)列{a_n}中，a₁=1且a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$．
（1）求出a₂，a₃，a₄；
（2）歸納出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，并用數(shù)學(xué)歸納法證明歸納出的結(jié)論．

Answer 1

分析 （1）由a₁=1，且a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$，即可求出a₂，a₃，a₄；
（2）由（1）即可歸納出數(shù)列的通項(xiàng)公式，然后用數(shù)學(xué)歸納法證明即可．

解答 解：（1）由a₁=1且a_n+1=a_n+$\frac{1}{n（n+1）}$  知：${a_2}={a_1}+\frac{1}{1×2}=\frac{3}{2}$，${a_3}={a_2}+\frac{1}{2×3}=\frac{5}{3}$，${a_4}={a_3}+\frac{1}{3×4}=\frac{7}{4}$
（2）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\frac{2n-1}{n}$，
證明如下：（i） 當(dāng)n=1時(shí)，左邊=a₁=1，右邊=$\frac{2×1-1}{1}=1$，
∴左邊=右邊 即猜想成立；
（ii） 假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，猜想成立，即有${a_k}=\frac{2k-1}{k}$
那么當(dāng)n=k+1時(shí)，${a_{k+1}}={a_k}+\frac{1}{{k×（{k+1}）}}=\frac{2k-1}{k}+\frac{1}{{k×（{k+1}）}}=\frac{2k+1}{k+1}=\frac{{2（{k+1}）-1}}{k+1}$，
從而猜想對(duì)n=k+1也成立；
由（i） （ii）可知，猜想對(duì)任意的n∈N^*都成立，
所以數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式為${a_n}=\frac{2n-1}{n}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)學(xué)歸納法，考查數(shù)列遞推式，著重考查歸納與推理證明的能力，屬于中檔題．