Question

11．已知三棱錐P-ABC，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=$\sqrt{3}$，PA⊥面ABC，PA=2$\sqrt{3}$，則此三棱錐的外接球的表面積為（　�。�

• A． $\frac{16}{3}$π
• B． 4$\sqrt{3}$π
• C． $\frac{32}{3}$π
• D． 16π

Answer 1

分析 根據(jù)正弦定理得出截面圓的半徑為1，利用球的幾何性質(zhì)把空間轉(zhuǎn)化為平面為梯形PANO，利用平圖形的幾何性質(zhì)求解．

解答 解：根據(jù)題意得出圖形如下；O為球心，N為底面△ABC截面圓的圓心，ON⊥面ABC
∵，在底面△ABC中，∠A=60°，BC=$\sqrt{3}$，
∴根據(jù)正弦定理得出：$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2r，
即r=1，
∵PA⊥面ABC，
∴PA∥ON，
∵PA=2$\sqrt{3}$，AN=1，ON=d，
∴OA=OP=R，
∴根據(jù)等腰三角形得出：PAO中PA=2d=2$\sqrt{3}$，d=$\sqrt{3}$
∵R²=1²+（$\sqrt{3}$）=4，
∴三棱錐的外接球的表面積為4πR²=16π
故選：D

點(diǎn)評(píng) 本題綜合考查了空間幾何的性質(zhì)，球的幾何意義，學(xué)生的空間想象能力，解決三角形的問題，屬于綜合性較強(qiáng)的題目．