Question

6．有編號(hào)為1，2，3，4，5的五個(gè)小球和編號(hào)為1，2，3，4的四個(gè)盒子，現(xiàn)把球全部放入盒子中，
（1）若恰有一個(gè)盒子不放球，有多少種放法？
（2）若每個(gè)盒子都不空，恰有兩個(gè)小球放入編號(hào)相同的盒子，有多少種放法？
（3）若每個(gè)盒子都不空，且編號(hào)為偶數(shù)的小球只放入編號(hào)為偶數(shù)的盒子中，有多少種放法？

Answer 1

分析 （1）分三個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)為“122型”或“113型”兩種情況討論即可；
（2）利用捆綁法計(jì)算即得結(jié)論；
（3）分2號(hào)球入2號(hào)盒、4號(hào)球入4號(hào)盒，2號(hào)球入4號(hào)盒、4號(hào)球入2號(hào)盒兩種情況討論即可．

解答 解：（1）依題意，三個(gè)盒子中球的個(gè)數(shù)為“122型”或“113型”，
①若為“122型”時(shí)，此時(shí)有${C}_{3}^{1}$•${A}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{2}$•${A}_{2}^{2}$=360種放法；
②若為“112型”時(shí)，此時(shí)有${C}_{3}^{1}$•${A}_{5}^{3}$•${C}_{3}^{1}$=180種放法；
綜上所述，若恰有一個(gè)盒子不放球，有360+180=540種放法；
（2）將放入編號(hào)相同盒子的兩球看做一個(gè)小球，則相當(dāng)于將4個(gè)小球放入4個(gè)不同的盒子，
故有${C}_{5}^{2}$•${A}_{4}^{4}$=240種放法；
（3）∵每個(gè)盒子都不空，
∴恰有一個(gè)盒子有2個(gè)球，其他的盒子均有一個(gè)球，
依題意，分以下情況討論：
①當(dāng)2號(hào)球入2號(hào)盒時(shí)，則4號(hào)球必入4號(hào)盒，
此時(shí)有${A}_{3}^{2}$•${C}_{2}^{1}$=12種放法；
②當(dāng)2號(hào)球入4號(hào)盒時(shí)，則4號(hào)球必入2號(hào)盒，
此時(shí)有${A}_{3}^{2}$•${C}_{2}^{1}$=12種放法；
綜上所述，有12+12=24種放法．

點(diǎn)評(píng) 本題考查排列、組合及簡(jiǎn)單計(jì)數(shù)問題，考查分類討論的思想，注意解題方法的積累，屬于中檔題．