Question

已知O為坐標原點，向量

OA

=（sinα，1），

OB

=（cosα，0），

OC

=（-sinα，2），點P是直線AB上的一點，且

AB

=

BP

．
（Ⅰ）若O，P，C三點共線，求以線段OA，OB為鄰邊的平行四邊形的對角線長；
（Ⅱ）記函數(shù)f（α）=

BP

•

CA

，α∈（-

π

8

，

π

2

），試求函數(shù)f（α）的值域．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,向量的模,平行向量與共線向量

專題：平面向量及應(yīng)用

分析：（Ⅰ）設(shè)點P的坐標為（x，y），則由

AB

=

BP

求得x和y的值，可得點P的坐標．再根據(jù)

OP

∥

OC

求得cos2α=

9

25

，可得|

OA

+

OB

|=

(sinα+cosα)2+1

 和|

OA

-

OB

|的值，從而得出結(jié)論．
（Ⅱ）由條件化簡f（α）為

2

sin(2α+

π

4

)，根據(jù)α∈(-

π

8

，

π

2

)，利用正弦函數(shù)的定義域和值域求得-1＜

2

sin(2α+

π

4

)≤

2

，可得f（α）的值域．

解答： 解：（Ⅰ）設(shè)點P的坐標為（x，y），則 

AB

=(cosα-sinα，-1)，

BP

=(x-cosα，y)，
∵

AB

=

BP

，∴cosα-sinα=x-cosα，y=-1，∴x=2cosα-sinα，y=-1，
∴點P的坐標為（2cosα-sinα，-1）．
由O、P、C三點共線知：

OP

∥

OC

，（-1）×（-sinα）=2×（2cosα-sinα），
∴

sinα

cosα

=

4

3

，∵sin²α+cos²α=1∴cos2α=

9

25

，
∴|

OA

+

OB

|=

(sinα+cosα)2+1

=

2sinαcosα+2

=

8 3 cos2α+2

=

74

5

，
∴|

OA

-

OB

|=

(sinα-cosα)2+1

=

2-2sinαcosα

=

2- 8 3 cos2α

=

26

5

，
∴以O(shè)A，OB為鄰邊的平行四邊形的對角線長分別為

74

5

，

26

5

．
（Ⅱ）∵

BP

=(cosα-sinα，-1)，

CA

=(2sinα，-1)，
∴f（α）=2sinα（cosα-sinα）+1=sin2α+cos2α=

2

sin(2α+

π

4

)．
∵α∈(-

π

8

，

π

2

)，∴0＜2α+

π

4

＜

5π

4

，
∴-

2

2

＜sin(2α+

π

4

)≤1，-1＜

2

sin(2α+

π

4

)≤

2

．
∴f（α）的值域為(-1，

2

]．

點評：本題主要考查兩個向量的加減法的法則，以及其幾何意義，求向量的模的方法，三角恒等變換，正弦函數(shù)的定義域和值域，屬于中檔題．