【題目】已知橢圓的離心率,過焦點且垂直于x軸的直線被橢圓截得的線段長為3.
(1)求橢圓的方程;
(2)動直線與橢圓交于A,B兩點,在平面上是否存在定點P,使得當(dāng)直線PA與直線PB的斜率均存在時,斜率之和是與無關(guān)的常數(shù)?若存在,求出所有滿足條件的定點P的坐標(biāo);若不存在,請說明理由.
【答案】(1)(2)見解析
【解析】
(1)由離心率寫出a,c的關(guān)系,結(jié)合條件求得a與b的關(guān)系,再由則橢圓方程可求;
(2)設(shè)出A,B,P的坐標(biāo),聯(lián)立直線與橢圓方程,將斜率之和用坐標(biāo)表示,利用韋達定理,化簡,并利用多項式的恒等條件(相同次項的系數(shù)相等)建立方程,解得P的坐標(biāo).
(1) 設(shè)橢圓的半焦距為c,則,且.由解得.
依題意,,于是橢圓的方程為.
(2)設(shè),P(m,n),將,與橢圓方程聯(lián)立得
則有
如果存在P(m,n)使得kPA+kPB為定值,那么kPA+kPB的取值將與t無關(guān),
又直線PA,PB的斜率之和為:
當(dāng)時斜率的和恒為0,解得
綜上所述,所有滿足條件的定點P的坐標(biāo)為或.
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【題目】已知被直線分成面積相等的四部分,且截軸所得線段的長為2.
(1)求的方程;
(2)若存在過點的直線與相交于兩點,且,求實數(shù)的取值范圍.
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【題目】已知函數(shù).
(1)當(dāng)時,若函數(shù)恰有一個零點,求的取值范圍;
(2)當(dāng)時, 恒成立,求的取值范圍.
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【題目】設(shè)橢圓的右頂點為,上頂點為.已知橢圓的焦距為,直線的斜率為.
(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;
(2)設(shè)直線()與橢圓交于,兩點,且點在第二象限.與延長線交于點,若的面積是面積的倍,求的值.
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【題目】設(shè),,其中a,.
Ⅰ求的極大值;
Ⅱ設(shè),,若對任意的,恒成立,求a的最大值;
Ⅲ設(shè),若對任意給定的,在區(qū)間上總存在s,,使成立,求b的取值范圍.
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【題目】如圖,在圓心角為直角的扇形OAB區(qū)域中,M、N分別為OA、OB的中點,在M、N兩點處各有一個通信基站,其信號的覆蓋范圍分別為以OA、OB為直徑的圓,在扇形OAB內(nèi)隨機取一點,則此點無信號的概率是
A. B. C. D.
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【題目】如圖,在三棱柱中,邊長為的正方形,,
(1)求證:平面;
(2)求二面角的余弦值;
(3)證明:在線段上存在點,使得,并求的值。
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【題目】如圖,AD與BC是四面體ABCD中互相垂直的棱,BC=2. 若AD=2c,且AB+BD=AC+CD=2a,其中a、c為常數(shù),則四面體ABCD的體積的最大值是 .
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【題目】如圖,在四棱錐中,,,,.
(1)求證:;
(2)若,,為的中點.
(i)過點作一直線與平行,在圖中畫出直線并說明理由;
(ii)求平面將三棱錐分成的兩部分體積的比.
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