Question

19．已知正方體的8個頂點中，有4個為一側(cè)面是等邊三角形的正三棱錐的頂點，則這個正三棱錐與正方體的全面積之比可能為（　�。�

• A． $1：\sqrt{3}$
• B． $1：\sqrt{2}$
• C． $2：\sqrt{2}$
• D． $3：\sqrt{6}$

Answer 1

分析 分兩種情況求出棱錐的表面積，從而得出答案．

解答 解：設(shè)正方體的棱長為1，則正方體的全面積為S₁=6，
（1）若三棱錐為B-AB₁C，則正三棱錐的表面積為S₂=$\frac{1}{2}×3$+$\frac{\sqrt{3}}{4}×$（$\sqrt{2}$）²=$\frac{3+\sqrt{3}}{2}$．
∴正三棱錐與正方體的全面積之比為$\frac{{S}_{2}}{{S}_{1}}$=$\frac{3+\sqrt{3}}{12}$．
（2）若三棱錐為D₁-AB₁C，則三棱錐的表面積為：S₃=$\frac{\sqrt{3}}{4}×$（$\sqrt{2}$）²×4=2$\sqrt{3}$，
∴正三棱錐與正方體的全面積之比為$\frac{{S}_{3}}{{S}_{1}}$=$\frac{1}{\sqrt{3}}$．
故選：A．

點評 本題考查了常見幾何體的表面積計算，屬于基礎(chǔ)題．