Question

【題目】已知函數(shù).

(1)求的單調(diào)區(qū)間；

(2)若函數(shù)， 是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)， 是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，證明： .

Answer 1

【答案】（1）見解析（2）見解析

【解析】試題分析：（1）先求函數(shù)導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)函數(shù)是否變號(hào)進(jìn)行討論，當(dāng)時(shí)， ， 遞增，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)有一零點(diǎn)，導(dǎo)函數(shù)先正后負(fù)，故得增區(qū)間為，減區(qū)間為；（2）利用分析法先等價(jià)轉(zhuǎn)化所證不等式：要證明，只需證明 ，即證明，即證明，再令，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，確定其最值： 在上遞增，所以，即可證得結(jié)論.

試題解析：(1) 的定義域?yàn)?/span>，

當(dāng)時(shí)， ， 遞增

當(dāng)時(shí)，

遞增； 遞減

綜上：∴當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為

當(dāng)時(shí)， 的單調(diào)增區(qū)間為

（2）由是函數(shù)的兩個(gè)零點(diǎn)有

，相減得

又∵

∴

所以要證明，只需證明

即證明，即證明

令，則

則，

∴在上遞減， ，∴在上遞增，

所以成立，即