Question

13．已知sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，0＜α＜π，求：（1）sinα-cosα的值，（2）sin³α-cos³α的值．

Answer 1

分析 （1）由已知利用同角三角函數(shù)關(guān)系式得2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$，sinα＞0，cosα＜0，由此能求出sinα-cosα．
（2）由sin³α-cos³α=（sinα-cosα）（sin²α+sinαcosα+cos²α），利用同角三角函數(shù)關(guān)系式能求出結(jié)果．

解答 解：（1）∵sinα+cosα=$\frac{1}{3}$，0＜α＜π，
∴1+2sinαcosα=$\frac{1}{9}$，
∴2sinαcosα=-$\frac{8}{9}$，∴sinα＞0，cosα＜0，
∴（sinα-cosα）²=1-2sinαcosα=$\frac{17}{9}$，
∴sinα-cosα=$\frac{\sqrt{17}}{3}$．
（2）sin³α-cos³α
=（sinα-cosα）（sin²α+sinαcosα+cos²α）
=$\frac{\sqrt{17}}{3}$（1-$\frac{4}{9}$）
=$\frac{5\sqrt{17}}{27}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查三角函數(shù)值的求法，是基礎(chǔ)題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意同角三角函數(shù)性質(zhì)的合理運(yùn)用．