Question

10．如圖所示，四棱錐A-BCDE，已知平面BCDE⊥平面ABC，BE⊥EC，DE∥BC，BC=2DE=6，AB=4$\sqrt{3}$，∠ABC=30°．
（1）求證：AC⊥BE；
（2）若∠BCE=45°，求三棱錐A-CDE的體積．

Answer 1

分析 （1）利用余弦定理計(jì)算AC，得出BC⊥AC，再利用面面垂直的性質(zhì)得出AC⊥平面BCDE，故而AC⊥BE；
（2）過E作EF⊥BC，垂足為F，利用三角形知識求出EF，代入棱錐的體積公式計(jì)算即可．

解答 （1）證明：∵AB=4$\sqrt{3}$，BC=6，∠ABC=30°，
∴AC=$\sqrt{36+48-2×6×4\sqrt{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=2$\sqrt{3}$，
∴BC²+AC²=AB²，∴AC⊥BC，
又平面BCDE⊥平面ABC，平面BCDE∩平面ABC=BC，AC?平面ABC，
∴AC⊥平面BCDE，又BE?平面BCDE，
∴AC⊥BE．
（2）解：過E作EF⊥BC，垂足為F，
∵DE∥BC，∴EF⊥DE，
∵BE⊥EC，∠BCE=45°，∴△BCE是等腰直角三角形，
∴EF=$\frac{1}{2}$BC=3，
∴S_△CDE=$\frac{1}{2}×DE×EF$=$\frac{9}{2}$，
∴V_A-CDE=$\frac{1}{3}{S}_{△CDE}•AC$=$\frac{1}{3}×\frac{9}{2}×2\sqrt{3}$=3$\sqrt{3}$．

點(diǎn)評 本題考查了線面垂直的判定與性質(zhì)，棱錐的體積計(jì)算，屬于中檔題．